Bài 18: Xác suất có điều kiện | Toán Lớp 12

Xác suất có điều kiện là bài học trong chương trình Toán Lớp 12. Trong bài này, học sinh sẽ: sau khi học xong bài này, các em sẽ:; hiểu được khái niệm xác suất có điều kiện.; nắm vững công thức nhân xác suất..

CHƯƠNG VI. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN#

Bài 18: Xác suất có điều kiện#

Mục tiêu học tập#

Sau khi học xong bài này, các em sẽ:

• Hiểu được khái niệm xác suất có điều kiện.
• Nắm vững công thức nhân xác suất.
• Nhận biết được mối liên hệ giữa xác suất có điều kiện và xác suất thông thường.
• Vận dụng công thức nhân xác suất cho hai biến cố bất kỳ.
• Giải thích được ý nghĩa của xác suất có điều kiện trong một số tình huống thực tế.

Kiến thức trọng tâm#

1. Xác suất có điều kiện là gì?

Trong cuộc sống, đôi khi chúng ta muốn tính xác suất của một sự kiện nào đó, nhưng lại biết thêm một thông tin liên quan. Khi đó, chúng ta cần dùng đến khái niệm xác suất có điều kiện.

Ví dụ:

• Tính xác suất để ngày mai trời mưa, nếu biết hôm nay trời không mưa.
• Tính xác suất để bạn An là học sinh giỏi môn Toán, nếu biết rằng An là học sinh giỏi môn Tin.
• Tính xác suất để một người thọ 80 tuổi, nếu biết rằng người đó đã sống đến 60 tuổi.

Định nghĩa: Cho hai biến cố $A$ và $B$. Xác suất của biến cố $A$, tính trong điều kiện biết rằng biến cố $B$ đã xảy ra, được gọi là xác suất của $A$ với điều kiện $B$ và kí hiệu là $P(A|B)$.

Công thức: Xác suất có điều kiện được tính theo công thức sau:

$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$

trong đó $P(B) > 0$.

Giải thích công thức:

• $P(A|B)$: Xác suất của biến cố $A$ khi biết $B$ đã xảy ra.
• $P(AB)$: Xác suất đồng thời xảy ra cả hai biến cố $A$ và $B$.
• $P(B)$: Xác suất xảy ra biến cố $B$.

Lưu ý: Công thức này chỉ có nghĩa khi $P(B) > 0$, tức là biến cố $B$ có khả năng xảy ra.

2. Công thức nhân xác suất

Từ công thức xác suất có điều kiện, ta có thể suy ra công thức nhân xác suất, giúp tính xác suất đồng thời của hai biến cố.

Công thức: Với hai biến cố $A$ và $B$ bất kỳ, ta có:

$P(AB) = P(B) \cdot P(A|B)$

hoặc

$P(AB) = P(A) \cdot P(B|A)$

Giải thích công thức:

Công thức này cho biết xác suất để cả hai biến cố $A$ và $B$ cùng xảy ra bằng tích của xác suất xảy ra một biến cố (ví dụ, $P(A)$) và xác suất xảy ra biến cố còn lại với điều kiện biến cố thứ nhất đã xảy ra (ví dụ, $P(B|A)$).

Lưu ý: Nếu $P(B) = 0$ thì $P(AB) = 0$, nên công thức trên vẫn đúng với mọi biến cố $A, B$.

Ví dụ minh họa#

Ví dụ 1: (Lấy từ sách trang 65)

Một hộp có 20 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó.

Gọi $A$ là biến cố: “An lấy được viên bi trắng”; $B$ là biến cố: “Bình lấy được viên bi trắng”.

Tính $P(A|B)$ bằng định nghĩa và bằng công thức tính $P(A|B)$ ở trên.

Lời giải:

Cách 1: Bằng định nghĩa

Nếu $B$ xảy ra tức là Bình lấy được viên bi trắng. Khi đó, trong hộp còn lại 29 viên bi với 19 viên bi trắng và 10 viên bi đen. Vậy $P(A|B) = \frac{19}{29}$.

Cách 2: Bằng công thức

Bình có 30 cách chọn, An có 29 cách chọn một viên bi trong hộp. Do đó $n(\Omega) = 30 \cdot 29$.

Bình có 20 cách chọn một viên bi trắng, An có 19 cách chọn từ 29 viên bi còn lại. Do đó $n(AB) = 20 \cdot 19$.

Vậy $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{n(AB)}{n(B)} = \frac{20 \cdot 19}{20 \cdot 29} = \frac{19}{29}$.

Ví dụ 2: (Lấy từ sách trang 66)

Từ công thức tính $P(A|B)$ ở trên, chứng minh rằng nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập với $P(A) > 0, P(B) > 0$ thì $P(A|B) = P(A)$ và $P(B|A) = P(B)$.

Lời giải:

Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thì $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$.

Vậy với $P(A) > 0, P(B) > 0$ ta có:

$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A)$

$P(B|A) = \frac{P(BA)}{P(A)} = \frac{P(B) \cdot P(A)}{P(A)} = P(B)$

Ví dụ 3: (Lấy từ sách trang 67)

Một viện nghiên cứu về an toàn giao thông muốn tìm hiểu về mối quan hệ giữa việc thắt dây an toàn khi lái xe và nguy cơ tử vong của người lái xe khi xảy ra tai nạn giao thông. Giả sử viện đã xem xét 577 006 vụ tai nạn giao thông ô tô và việc thắt dây an toàn của người lái xe khi xảy ra tai nạn giao thông. Kết quả cho thấy:

• Trong số những người lái xe có thắt dây an toàn, có 510 người tử vong và 412 368 người sống sót;
• Trong số những người lái xe không thắt dây an toàn, có 1 601 người tử vong và 162 527 người sống sót.

Chọn ngẫu nhiên một người lái xe trong số 577 006 người bị tai nạn giao thông.

a) Tính xác suất để người lái xe đó tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông trong trường hợp không thắt dây an toàn.

b) Tính xác suất để người lái xe đó tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông trong trường hợp có thắt dây an toàn.

c) So sánh hai xác suất ở câu a và câu b rồi rút ra kết luận.

Lời giải:

a) Gọi $A$ là biến cố: “Người lái xe đó tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông"; $B$ là biến cố: “Người lái xe đó không thắt dây an toàn khi xảy ra tai nạn giao thông". Khi đó $AB$ là biến cố: “Người lái xe đó tử vong và không thắt dây an toàn khi xảy ra tai nạn giao thông". Ta cần tính $P(A|B)$.

Ta có $162527 + 1601 = 164128$ người không thắt dây an toàn $\Rightarrow n(B) = 164128$.

Vậy $P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{164128}{577006}$.

Trong số những người không thắt dây an toàn, có 1601 người tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông $\Rightarrow n(AB) = 1601$. Vậy $P(AB) = \frac{1601}{577006}$.

Do đó $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{1601}{164128} \approx 0.009755$.

b) Ta cần tính $P(A|\overline{B})$.

$\overline{B}$ là biến cố: “Người lái xe đó có thắt dây an toàn khi xảy ra tai nạn giao thông”.

$A\overline{B}$ là biến cố: “Người lái xe đó tử vong và có thắt dây an toàn khi xảy ra tai nạn giao thông”.

Ta có $412368 + 510 = 412878$ người lái xe có thắt dây an toàn $\Rightarrow n(\overline{B}) = 412878$.

Trong số những người có thắt dây an toàn, có 510 người tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông $\Rightarrow n(A\overline{B}) = 510$.

Tương tự như trên, ta có:

$P(A|\overline{B}) = \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{510}{412878} \approx 0.001235$.

c) Ta có:

$\frac{P(A|B)}{P(A|\overline{B})} \approx \frac{0.009755}{0.001235} \approx 7.9$

Như vậy, xác suất để một người lái xe không thắt dây an toàn bị tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông cao gấp khoảng 7,9 lần xác suất để một người lái xe thắt dây an toàn bị tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông. Tức là, không thắt dây an toàn làm tăng nguy cơ bị tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông của người lái xe lên gấp khoảng 7,9 lần.

Lưu ý khi thi#

• Dạng bài thường gặp: Tính xác suất có điều kiện trong các bài toán thực tế, bài toán liên quan đến rút thăm, chọn đồ vật.
• Lỗi sai phổ biến: Nhầm lẫn giữa $P(A|B)$ và $P(B|A)$. Cần xác định rõ biến cố nào xảy ra trước, biến cố nào xảy ra sau.
• Mẹo giải nhanh: Sử dụng sơ đồ hình cây để trực quan hóa bài toán, đặc biệt là các bài toán có nhiều giai đoạn.

---

Câu hỏi thường gặp#

Xác suất có điều kiện trong Toán Lớp 12 học những gì?#

Sau khi học xong bài này, các em sẽ: Hiểu được khái niệm xác suất có điều kiện. Nắm vững công thức nhân xác suất. Nhận biết được mối liên hệ giữa xác suất có điều kiện và xác suất thông thường. Vận dụng công thức nhân xác suất cho hai biến cố bất kỳ. Giải thích được ý nghĩa của xác suất có điều kiện

Kiến thức trọng tâm của Xác suất có điều kiện là gì?#

1. Xác suất có điều kiện là gì? Trong cuộc sống, đôi khi chúng ta muốn tính xác suất của một sự kiện nào đó, nhưng lại biết thêm một thông tin liên quan. Khi đó, chúng ta cần dùng đến khái niệm xác suất có điều kiện. Ví dụ: Tính xác suất để ngày mai trời mưa, nếu biết hôm nay trời không mưa. Tính xá

Lưu ý khi thi bài Xác suất có điều kiện Toán Lớp 12?#

Dạng bài thường gặp: Tính xác suất có điều kiện trong các bài toán thực tế, bài toán liên quan đến rút thăm, chọn đồ vật. Lỗi sai phổ biến: Nhầm lẫn giữa PAB và PBA. Cần xác định rõ biến cố nào xảy ra trước, biến cố nào xảy ra sau. Mẹo giải nhanh: Sử dụng sơ đồ hình cây để trực quan hóa bài toán, đặ

---

Bài học liên quan#

• Bài 11: NGUYÊN HÀM | Toán Lớp 12
• Bài 12: TÍCH PHÂN | Toán Lớp 12
• Bài 13: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN | Toán Lớp 12
• Bài 14: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG | Toán Lớp 12
• Bài 15: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12
• Bài 16: CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12
• Bài 17: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU | Toán Lớp 12
• Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes | Toán Lớp 12