Bài 17: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU | Toán Lớp 12

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU là bài học trong chương trình Toán Lớp 12. Trong bài này, học sinh sẽ: sau bài học này, các em sẽ:; nhận biết** phương trình mặt cầu.; xác định** tâm và bán kính mặt cầu khi biết phương trình..

CHƯƠNG V: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN#

Bài 17: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU#

Mục tiêu học tập#

Sau bài học này, các em sẽ:

• Nhận biết phương trình mặt cầu.
• Xác định tâm và bán kính mặt cầu khi biết phương trình.
• Lập phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính.
• Vận dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để giải quyết một số bài toán liên quan đến thực tiễn.

Kiến thức trọng tâm#

1. Phương trình mặt cầu

Mặt cầu tâm $I$ bán kính $R$ ($R > 0$) là tập các điểm trong không gian cách $I$ một khoảng bằng $R$.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu $(S)$ tâm $I(a; b; c)$ bán kính $R$ có phương trình:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$

• Chú ý:
  • Điểm $M(x; y; z)$ nằm trong mặt cầu $(S)$ nếu $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 < R^2$.
  • Điểm $M(x; y; z)$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ nếu $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 > R^2$.

2. Dạng khai triển của phương trình mặt cầu

Phương trình:

$x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$

có thể viết lại thành $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - d$ và là phương trình của một mặt cầu $(S)$ khi và chỉ khi $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$. Khi đó, $(S)$ có tâm $I(a; b; c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.

Ví dụ minh họa#

Ví dụ 1: (Trang 55, SGK) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 5$.

a) Xác định tâm và bán kính của $(S)$.

b) Hỏi gốc tọa độ $O(0; 0; 0)$ nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu $(S)$?

Giải:

a) Ta viết lại phương trình của mặt cầu $(S)$ dưới dạng: $(x - 1)^2 + [y - (-3)]^2 + (z - 0)^2 = (\sqrt{5})^2$.

Vậy mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; -3; 0)$ và bán kính $R = \sqrt{5}$.

b) Ta có $OI^2 = (0 - 1)^2 + (0 + 3)^2 + (0 - 0)^2 = 10 > 5 = R^2$. Do đó, gốc tọa độ $O(0; 0; 0)$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$.

Ví dụ 2: (Trang 55, SGK) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu $(S)$ trong các trường hợp sau:

a) Tâm $I(\frac{3}{2}; 0; -3)$, bán kính $R = \frac{9}{4}$.

b) Đường kính $AB$, với $A(1; 2; 1)$ và $B(3; 1; 5)$.

Giải:

a) Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(\frac{3}{2}; 0; -3)$ và có bán kính $R = \frac{9}{4}$ nên có phương trình:

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - 0)^2 + (z + 3)^2 = (\frac{9}{4})^2 \text{ hay } (S): (x - \frac{3}{2})^2 + y^2 + (z + 3)^2 = \frac{81}{16}$

b) Đoạn thẳng $AB$ có trung điểm là $J(2; \frac{3}{2}; 3)$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $J$ và bán kính $R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 2)^2 + (5 - 1)^2} = \frac{\sqrt{21}}{2}$.

Do đó $(S): (x - 2)^2 + (y - \frac{3}{2})^2 + (z - 3)^2 = \frac{21}{4}$.

Lưu ý khi thi#

• Dạng bài thường gặp:
  • Xác định tâm và bán kính của mặt cầu khi biết phương trình.
  • Viết phương trình mặt cầu khi biết các yếu tố khác nhau (tâm, bán kính, đường kính).
  • Các bài toán liên quan đến hình học không gian, yêu cầu sử dụng phương pháp tọa độ để giải.
• Lỗi sai phổ biến:
  • Nhầm lẫn giữa tâm và bán kính của mặt cầu.
  • Sai sót trong tính toán khoảng cách giữa hai điểm.
• Mẹo giải nhanh:
  • Nắm vững các công thức và điều kiện để xác định phương trình mặt cầu.
  • Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra các phép tính.

Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!

---

Tuyệt vời! Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá chương VI: Xác suất có điều kiện trong chương trình Toán 12. Chương này rất thú vị và có nhiều ứng dụng thực tế, nên các em hãy tập trung nhé!

---

Câu hỏi thường gặp#

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU trong Toán Lớp 12 học những gì?#

Sau bài học này, các em sẽ: Nhận biết phương trình mặt cầu. Xác định tâm và bán kính mặt cầu khi biết phương trình. Lập phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính. Vận dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để giải quyết một số bài toán liên quan đến thực tiễn.

Kiến thức trọng tâm của PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU là gì?#

1. Phương trình mặt cầu Mặt cầu tâm I bán kính R R 0 là tập các điểm trong không gian cách I một khoảng bằng R. Trong không gian Oxyz, mặt cầu S tâm Ia; b; c bán kính R có phương trình: x - a^2 + y - b^2 + z - c^2 = R^2 Chú ý: Điểm Mx; y; z nằm trong mặt cầu S nếu x - a^2 + y - b^2 + z - c^2 < R^2.

Lưu ý khi thi bài PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Toán Lớp 12?#

Dạng bài thường gặp: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu khi biết phương trình. Viết phương trình mặt cầu khi biết các yếu tố khác nhau tâm, bán kính, đường kính. Các bài toán liên quan đến hình học không gian, yêu cầu sử dụng phương pháp tọa độ để giải. Lỗi sai phổ biến: Nhầm lẫn giữa tâm và bán k

---

Bài học liên quan#

• Bài 11: NGUYÊN HÀM | Toán Lớp 12
• Bài 12: TÍCH PHÂN | Toán Lớp 12
• Bài 13: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN | Toán Lớp 12
• Bài 14: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG | Toán Lớp 12
• Bài 15: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12
• Bài 16: CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12
• Bài 18: Xác suất có điều kiện | Toán Lớp 12
• Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes | Toán Lớp 12