Bài 11: NGUYÊN HÀM | Toán Lớp 12

NGUYÊN HÀM là bài học trong chương trình Toán Lớp 12. Trong bài này, học sinh sẽ: sau bài học này, học sinh sẽ:; hiểu**: khái niệm nguyên hàm của một hàm số.; biết**: các tính chất cơ bản của nguyên hàm..

CHƯƠNG IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN#

Bài 11: NGUYÊN HÀM#

Mục tiêu học tập#

Sau bài học này, học sinh sẽ:

Hiểu: Khái niệm nguyên hàm của một hàm số.
Biết: Các tính chất cơ bản của nguyên hàm.
Làm được: Tìm nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp.

Kiến thức trọng tâm#

Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ khám phá một khái niệm rất quan trọng trong giải tích, đó là nguyên hàm. Các em đã quen với phép toán đạo hàm, vậy nguyên hàm là gì? Nó có mối quan hệ như thế nào với đạo hàm? Chúng ta cùng tìm hiểu nhé!

1. Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $K$ (có thể là một đoạn hoặc nửa khoảng). Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu:

$F'(x) = f(x), \forall x \in K$

Giải thích:

Hiểu đơn giản, nguyên hàm là "ngược" của đạo hàm. Nếu đạo hàm của $F(x)$ ra $f(x)$ , thì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ .
Ký hiệu $\forall x \in K$ có nghĩa là "với mọi $x$ thuộc $K$ ".

Ví dụ:

Hàm số $F(x) = \frac{x^3}{3}$ là một nguyên hàm của $f(x) = x^2$ trên $\mathbb{R}$ vì $F'(x) = x^2 = f(x)$ với mọi $x$ thuộc tập số thực.

Lưu ý:

Nếu $K = [a, b]$ thì đẳng thức $F'(a) = f(a)$ và $F'(b) = f(b)$ được hiểu là đạo hàm một bên (bên phải tại $a$ và bên trái tại $b$ ).

2. Họ nguyên hàm

Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ , thì:

$F(x) + C$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ , với $C$ là một hằng số bất kỳ.
Mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ đều có dạng $F(x) + C$ .

Tập hợp tất cả các nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ được gọi là họ nguyên hàm của $f(x)$ , ký hiệu là:

$\int f(x) dx = F(x) + C$

Giải thích:

Vì đạo hàm của một hằng số bằng 0, nên khi lấy nguyên hàm, ta luôn có một hằng số $C$ "đi kèm".
$\int$ là ký hiệu của phép lấy nguyên hàm (còn gọi là tích phân bất định).
$f(x)$ được gọi là hàm số dưới dấu tích phân.

3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

$\int kf(x) dx = k \int f(x) dx \quad (k \neq 0)$
$\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$
$\int [f(x) - g(x)] dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx$

Giải thích:

Hằng số có thể đưa ra ngoài dấu tích phân.
Nguyên hàm của một tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các nguyên hàm.

4. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Hàm số $f(x)$	Nguyên hàm $\int f(x) dx$
$x^\alpha (\alpha \neq -1)$	$\frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C$
$\frac{1}{x}$	$\ln
$e^x$	$e^x + C$
$a^x (0 < a \neq 1)$	$\frac{a^x}{\ln a} + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\frac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x + C$
$\frac{1}{\sin^2 x}$	$-\cot x + C$

Ví dụ minh họa#

Hình minh họa AI — Toán

* Hình ảnh chỉ mang tính chất minh họa và được tạo bởi AI Nano Banana

Ví dụ 1 (trang 7): Cho hàm số $f(x) = x^2 - 2x$ . Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ ?

a) $F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2$ ; b) $G(x) = \frac{x^3}{3} + x^2$ .

Lời giải:

a) Ta có: $F'(x) = x^2 - 2x = f(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ . Vậy $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ .

b) Ta có: $G'(x) = x^2 + 2x$ . Vì $G'(1) = 3 \neq f(1) = -1$ , nên $G(x)$ không là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ .

Ví dụ 2 (trang 8): Tìm $\int 3x^2 dx$ .

Lời giải:

$\int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x^3 + C$

Ví dụ 3 (trang 10): Tìm $\int \sqrt{x} dx$ (với $x > 0$ ).

Lời giải:

$\int \sqrt{x} dx = \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$

Lưu ý khi thi#

Dạng bài thường gặp: Tìm nguyên hàm của một hàm số cho trước, hoặc tìm họ nguyên hàm thỏa mãn một điều kiện nào đó (ví dụ: $F(0) = 1$ ).
Lỗi sai phổ biến: Quên hằng số $C$ khi lấy nguyên hàm, hoặc tính sai đạo hàm để kiểm tra lại kết quả.
Mẹo giải nhanh: Nắm vững bảng nguyên hàm cơ bản và các tính chất của nguyên hàm.

Câu hỏi thường gặp#

NGUYÊN HÀM trong Toán Lớp 12 học những gì?#

Sau bài học này, học sinh sẽ: Hiểu: Khái niệm nguyên hàm của một hàm số. Biết: Các tính chất cơ bản của nguyên hàm. Làm được: Tìm nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp.

Kiến thức trọng tâm của NGUYÊN HÀM là gì?#

Chào các em Hôm nay chúng ta sẽ khám phá một khái niệm rất quan trọng trong giải tích, đó là nguyên hàm. Các em đã quen với phép toán đạo hàm, vậy nguyên hàm là gì? Nó có mối quan hệ như thế nào với đạo hàm? Chúng ta cùng tìm hiểu nhé 1. Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số fx xác định trên khoảng K có

Lưu ý khi thi bài NGUYÊN HÀM Toán Lớp 12?#

Dạng bài thường gặp: Tìm nguyên hàm của một hàm số cho trước, hoặc tìm họ nguyên hàm thỏa mãn một điều kiện nào đó ví dụ: F0 = 1. Lỗi sai phổ biến: Quên hằng số C khi lấy nguyên hàm, hoặc tính sai đạo hàm để kiểm tra lại kết quả. Mẹo giải nhanh: Nắm vững bảng nguyên hàm cơ bản và các tính chất của n

Bài 11: NGUYÊN HÀM | Toán Lớp 12

CHƯƠNG IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN#