Tính đơn điệu và cực trị của hàm số | Toán Lớp 12

Tính đơn điệu và cực trị của hàm số là bài học trong chương trình Toán Lớp 12. Trong bài này, học sinh sẽ: sau khi học xong bài này, các em sẽ:; hiểu**:; định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng..

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ#

Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số#

Mục tiêu học tập#

Sau khi học xong bài này, các em sẽ:

• Hiểu:
  • Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng.
  • Mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số.
  • Định nghĩa điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
• Biết:
  • Cách xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm.
  • Cách tìm điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm.
  • Cách lập bảng biến thiên của hàm số.
• Làm được:
  • Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
  • Tìm điểm cực trị của hàm số.
  • Vẽ phác họa đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Kiến thức trọng tâm#

1. Tính đơn điệu của hàm số

• Định nghĩa: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $K$.

  • Hàm số $y = f(x)$ được gọi là đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in K$, $x_1 < x_2$ thì $f(x_1) < f(x_2)$.
  • Hàm số $y = f(x)$ được gọi là nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in K$, $x_1 < x_2$ thì $f(x_1) > f(x_2)$.

  Giải thích:

  • Đồng biến nghĩa là "cùng biến", tức là khi $x$ tăng thì $y$ cũng tăng.
  • Nghịch biến nghĩa là "biến ngược", tức là khi $x$ tăng thì $y$ lại giảm.

• Định lý: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ trên khoảng $K$.

  • Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $K$.
  • Nếu $f'(x) < 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $K$.
  • Nếu $f'(x) = 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $y = f(x)$ là hàm hằng trên $K$.

  Giải thích:

  • Đạo hàm dương nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến dương, tức là đồ thị đi lên.
  • Đạo hàm âm nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến âm, tức là đồ thị đi xuống.

• Các bước xét tính đơn điệu của hàm số:

  1. Tìm tập xác định của hàm số.
  2. Tính đạo hàm $f'(x)$.
  3. Tìm các điểm $x_i$ mà tại đó $f'(x_i) = 0$ hoặc $f'(x_i)$ không xác định.
  4. Sắp xếp các điểm $x_i$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
  5. Kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2. Cực trị của hàm số

• Định nghĩa: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và $x_0 \in (a; b)$.

  • $x_0$ được gọi là điểm cực đại của hàm số $f(x)$ nếu tồn tại số $h > 0$ sao cho $f(x) < f(x_0)$ với mọi $x \in (x_0 - h; x_0 + h)$ và $x \ne x_0$. Khi đó $f(x_0)$ gọi là giá trị cực đại của hàm số.
  • $x_0$ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$ nếu tồn tại số $h > 0$ sao cho $f(x) > f(x_0)$ với mọi $x \in (x_0 - h; x_0 + h)$ và $x \ne x_0$. Khi đó $f(x_0)$ gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
  • Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

  Giải thích:

  • Điểm cực đại là điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất trong một lân cận nhỏ của điểm đó.
  • Điểm cực tiểu là điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trong một lân cận nhỏ của điểm đó.

• Điều kiện cần để có cực trị: Nếu hàm số $y = f(x)$ đạt cực trị tại $x_0$ và có đạo hàm tại điểm đó thì $f'(x_0) = 0$.

• Điều kiện đủ để có cực trị:

  • Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ đi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại.
  • Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ đi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu.

• Các bước tìm cực trị của hàm số:

  1. Tìm tập xác định của hàm số.
  2. Tính đạo hàm $f'(x)$.
  3. Tìm các điểm $x_i$ mà tại đó $f'(x_i) = 0$ hoặc $f'(x_i)$ không xác định.
  4. Lập bảng biến thiên.
  5. Kết luận về điểm cực trị của hàm số.

Ví dụ minh họa#

Ví dụ 2 (Sách giáo khoa Toán 12, trang 7): Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số $y = x^2 - 4x + 2$.

Giải:

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

2. Đạo hàm: $y' = 2x - 4$.

3. $y' = 0 \Leftrightarrow 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$.

4. Bảng biến thiên:

   $x$	$-\infty$	2	$+\infty$
   $y'$	$-$	0	$+$
   $y$	$+\infty$		$+\infty$
   		$\searrow$
   		$-2$

5. Kết luận:

   • Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 2)$.
   • Hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$.

Ví dụ 6 (Sách giáo khoa Toán 12, trang 11): Tìm cực trị của hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x + 1$.

Giải:

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

2. Đạo hàm: $y' = x^2 - 6x + 8$.

3. $y' = 0 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = 4$.

4. Bảng biến thiên:

   $x$	$-\infty$	2	4	$+\infty$
   $y'$	$+$	0	$-$	0
   $y$
   	$\nearrow$	$\frac{37}{3}$	$\searrow$	$\frac{35}{3}$
   	$-\infty$			$+\infty$

5. Kết luận:

   • Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$, giá trị cực đại $y_{CD} = \frac{37}{3}$.
   • Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 4$, giá trị cực tiểu $y_{CT} = \frac{35}{3}$.

Lưu ý khi thi#

• Dạng bài thường gặp:
  • Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số cho trước.
  • Tìm điểm cực trị của hàm số cho trước.
  • Xác định tính đơn điệu hoặc cực trị của hàm số dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên.
• Lỗi sai phổ biến:
  • Không tìm tập xác định của hàm số.
  • Tính sai đạo hàm.
  • Không xét dấu đạo hàm hoặc xét dấu sai.
  • Nhầm lẫn giữa điểm cực trị và giá trị cực trị.
• Mẹo giải nhanh:
  • Sử dụng máy tính cầm tay để tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0.
  • Vẽ nhanh phác họa đồ thị hàm số để kiểm tra lại kết quả.

---

Câu hỏi thường gặp#

Tính đơn điệu và cực trị của hàm số trong Toán Lớp 12 học những gì?#

Sau khi học xong bài này, các em sẽ: Hiểu: Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng. Mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số. Định nghĩa điểm cực đại, cực tiểu của hàm số. Biết: Cách xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm. Cách tìm điểm cực trị của hàm số bằng

Kiến thức trọng tâm của Tính đơn điệu và cực trị của hàm số là gì?#

1. Tính đơn điệu của hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y = fx xác định trên khoảng K. Hàm số y = fx được gọi là đồng biến tăng trên K nếu với mọi x1, x2 in K, x1 < x2 thì fx1 < fx2. Hàm số y = fx được gọi là nghịch biến giảm trên K nếu với mọi x1, x2 in K, x1 < x2 thì fx1 fx2. Giải thích: Đồng biến nghĩ

Lưu ý khi thi bài Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán Lớp 12?#

Dạng bài thường gặp: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số cho trước. Tìm điểm cực trị của hàm số cho trước. Xác định tính đơn điệu hoặc cực trị của hàm số dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên. Lỗi sai phổ biến: Không tìm tập xác định của hàm số. Tính sai đạo hàm. Không xét dấu đạo hàm hoặc xé

---

Bài học liên quan#

• Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số | Toán Lớp 12
• Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | Toán Lớp 12
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số | Toán Lớp 12