Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số | Toán Lớp 12

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là bài học trong chương trình Toán Lớp 12. Trong bài này, học sinh sẽ: sau khi học xong bài này, các em sẽ:; hiểu**:; định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp..

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ#

Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số#

Mục tiêu học tập#

Sau khi học xong bài này, các em sẽ:

• Hiểu:
  • Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp.
• Biết:
  • Các bước tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.
• Làm được:
  • Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.
  • Giải quyết một số bài toán thực tế liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Kiến thức trọng tâm#

• Định nghĩa: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$.
  • Số $M$ được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên $D$ nếu $f(x) \le M$ với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0) = M$. Kí hiệu: $M = \max_{x \in D} f(x)$.
  • Số $m$ được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên $D$ nếu $f(x) \ge m$ với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0) = m$. Kí hiệu: $m = \min_{x \in D} f(x)$.
• Các bước tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$:
  1. Tính đạo hàm $f'(x)$.
  2. Tìm các điểm $x_i \in [a; b]$ mà tại đó $f'(x_i) = 0$ hoặc $f'(x_i)$ không xác định.
  3. Tính $f(a)$, $f(b)$ và $f(x_i)$.
  4. So sánh các giá trị trên và kết luận:
     • Giá trị lớn nhất là số lớn nhất trong các giá trị đã tính.
     • Giá trị nhỏ nhất là số nhỏ nhất trong các giá trị đã tính.

Ví dụ minh họa#

Ví dụ 1 (Sách giáo khoa Toán 12, trang 15): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{1 - x^2}$.

Giải:

1. Tập xác định: $D = [-1; 1]$.
2. Đạo hàm: $y' = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$.
3. $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$.
4. Tính giá trị:
   • $f(-1) = 0$.
   • $f(1) = 0$.
   • $f(0) = 1$.
5. Kết luận:
   • $\max_{x \in [-1; 1]} f(x) = 1$.
   • $\min_{x \in [-1; 1]} f(x) = 0$.

Ví dụ 4 (Sách giáo khoa Toán 12, trang 18): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^4 - 4x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 4]$.

Giải:

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
2. Đạo hàm: $y' = 4x^3 - 8x$.
3. $y' = 0 \Leftrightarrow 4x^3 - 8x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \sqrt{2}$ (vì $x \in [0; 4]$).
4. Tính giá trị:
   • $f(0) = 3$.
   • $f(4) = 195$.
   • $f(\sqrt{2}) = -1$.
5. Kết luận:
   • $\max_{x \in [0; 4]} f(x) = 195$.
   • $\min_{x \in [0; 4]} f(x) = -1$.

Lưu ý khi thi#

• Dạng bài thường gặp:
  • Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn cho trước.
  • Giải bài toán thực tế liên quan đến GTLN, GTNN (ví dụ: tối ưu hóa diện tích, thể tích, chi phí,...).
• Lỗi sai phổ biến:
  • Không tìm tập xác định của hàm số.
  • Tính sai đạo hàm.
  • Không xét các điểm mà đạo hàm không xác định.
  • Không so sánh tất cả các giá trị cần thiết.
• Mẹo giải nhanh:
  • Sử dụng máy tính cầm tay để tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0.
  • Kiểm tra lại kết quả bằng cách vẽ đồ thị hàm số.

---

Câu hỏi thường gặp#

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trong Toán Lớp 12 học những gì?#

Sau khi học xong bài này, các em sẽ: Hiểu: Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp. Biết: Các bước tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn. Làm được: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn. Giải quyết một số bài toán

Kiến thức trọng tâm của Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là gì?#

Định nghĩa: Cho hàm số y = fx xác định trên tập D. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = fx trên D nếu fx le M với mọi x in D và tồn tại x0 in D sao cho fx0 = M. Kí hiệu: M = max{x in D} fx. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = fx trên D nếu fx ge m với mọi x in D và tồn tại x

Lưu ý khi thi bài Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán Lớp 12?#

Dạng bài thường gặp: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn cho trước. Giải bài toán thực tế liên quan đến GTLN, GTNN ví dụ: tối ưu hóa diện tích, thể tích, chi phí,.... Lỗi sai phổ biến: Không tìm tập xác định của hàm số. Tính sai đạo hàm. Không xét các điểm mà đạo hàm không xác định. Không so sán

---

Bài học liên quan#

• Tính đơn điệu và cực trị của hàm số | Toán Lớp 12
• Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | Toán Lớp 12
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số | Toán Lớp 12