Bài 16: CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12

CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN là bài học trong chương trình Toán Lớp 12. Trong bài này, học sinh sẽ: sau bài học này, các em sẽ:; tính** được góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.; vận dụng** kiến thức về góc vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn..

CHƯƠNG V: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN#

Bài 16: CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN#

Mục tiêu học tập#

Sau bài học này, các em sẽ:

• Tính được góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
• Vận dụng kiến thức về góc vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn.

Kiến thức trọng tâm#

1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c), \vec{u'} = (a'; b'; c')$. Khi đó:

$cos(\Delta, \Delta') = |cos(\vec{u}, \vec{u'})| = \frac{|aa' + bb' + cc'|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{a'^2 + b'^2 + c'^2}}$

2. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$. Khi đó:

$sin(\Delta, (P)) = |cos(\vec{u}, \vec{n})| = \frac{|aA + bB + cC|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

3. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ tương ứng có các vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C), \vec{n'} = (A'; B'; C')$. Khi đó, góc giữa $(P)$ và $(Q)$, kí hiệu là $((P), (Q))$, được tính theo công thức:

$cos((P), (Q)) = |cos(\vec{n}, \vec{n'})| = \frac{|AA' + BB' + CC'|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{A'^2 + B'^2 + C'^2}}$

Ví dụ minh họa#

Ví dụ 1: (Trang 50, SGK) Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng sau:

$\Delta: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 + t \\ z = 3 \end{cases}$ và $\Delta': \begin{cases} x = 1 + 2s \\ y = -2 + 2s \\ z = 4 + s \end{cases}$

Giải:

Hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$ tương ứng có các vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 1; 0), \vec{u'} = (2; 2; 1)$. Khi đó:

$cos(\Delta, \Delta') = |cos(\vec{u}, \vec{u'})| = \frac{|1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} \cdot \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 2 + 0|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{9}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Vậy $(\Delta, \Delta') \approx 19,5^\circ$.

Ví dụ 2: (Trang 51, SGK) Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi trục Ox và mặt phẳng $(P): \sqrt{2}x - y + z + 2 = 0$.

Giải:

Trục Ox có vectơ chỉ phương $\vec{i} = (1; 0; 0)$, mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (\sqrt{2}; -1; 1)$. Ta có:

$sin(Ox, (P)) = |cos(\vec{i}, \vec{n})| = \frac{|1 \cdot \sqrt{2} + 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} \cdot \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|\sqrt{2}|}{1 \cdot \sqrt{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy Ox tạo với $(P)$ góc $45^\circ$.

Ví dụ 3: (Trang 52, SGK) Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng $(P): x + 2y + 2z - 1 = 0$ và $(Q): x + y - z + 1 = 0$.

Giải:

Các mặt phẳng $(P), (Q)$ tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 2; 2), \vec{n'} = (1; 1; -1)$.

Ta có: $cos((P), (Q)) = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-1)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 + 2 - 2|}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$

Do đó $((P), (Q)) \approx 78,9^\circ$.

Lưu ý khi thi#

• Dạng bài thường gặp:
  • Tính góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng khi biết phương trình của chúng.
  • Các bài toán liên quan đến hình học không gian, yêu cầu tính góc giữa các đối tượng.
• Lỗi sai phổ biến:
  • Nhầm lẫn giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương.
  • Quên lấy giá trị tuyệt đối khi tính cosin hoặc sin của góc.
  • Không đổi đơn vị góc từ radian sang độ (nếu đề bài yêu cầu).
• Mẹo giải nhanh:
  • Nắm vững các công thức tính góc.
  • Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra các phép tính.

---

Câu hỏi thường gặp#

CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN trong Toán Lớp 12 học những gì?#

Sau bài học này, các em sẽ: Tính được góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng. Vận dụng kiến thức về góc vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn.

Kiến thức trọng tâm của CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN là gì?#

1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Delta và Delta' tương ứng có vectơ chỉ phương vec{u} = a; b; c, vec{u'} = a'; b'; c'. Khi đó: cosDelta, Delta' = cosvec{u}, vec{u'} = frac{aa' + bb' + cc'}{sqrt{a^2 + b^2 + c^2} cdot sqrt{a'^2 + b'^2 + c'^2}} 2. Cô

Lưu ý khi thi bài CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN Toán Lớp 12?#

Dạng bài thường gặp: Tính góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng khi biết phương trình của chúng. Các bài toán liên quan đến hình học không gian, yêu cầu tính góc giữa các đối tượng. Lỗi sai phổ biến: Nhầm lẫn giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương. Quên lấy giá trị tuy

---

Bài học liên quan#

• Bài 11: NGUYÊN HÀM | Toán Lớp 12
• Bài 12: TÍCH PHÂN | Toán Lớp 12
• Bài 13: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN | Toán Lớp 12
• Bài 14: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG | Toán Lớp 12
• Bài 15: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12
• Bài 17: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU | Toán Lớp 12
• Bài 18: Xác suất có điều kiện | Toán Lớp 12
• Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes | Toán Lớp 12