Bài 12: TÍCH PHÂN | Toán Lớp 12

TÍCH PHÂN là bài học trong chương trình Toán Lớp 12. Trong bài này, học sinh sẽ: sau bài học này, học sinh sẽ:; hiểu**: khái niệm tích phân của một hàm số.; biết**: các tính chất cơ bản của tích phân..

CHƯƠNG IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN#

Bài 12: TÍCH PHÂN#

Mục tiêu học tập#

Sau bài học này, học sinh sẽ:

• Hiểu: Khái niệm tích phân của một hàm số.
• Biết: Các tính chất cơ bản của tích phân.
• Làm được: Tính tích phân của một số hàm số sơ cấp thường gặp.
• Vận dụng: Tích phân để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn.

Kiến thức trọng tâm#

1. Diện tích hình thang cong

Hình thang cong là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ (với $a < b$ và $f(x) \ge 0$ trên $[a, b]$).

2. Định nghĩa tích phân

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a, b]$. Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $[a, b]$, thì hiệu số $F(b) - F(a)$ được gọi là tích phân từ $a$ đến $b$ của $f(x)$, ký hiệu là:

$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

Giải thích:

• $a$ là cận dưới, $b$ là cận trên.
• $f(x)$ là hàm số dưới dấu tích phân.
• $F(x) \Big|_a^b = F(b) - F(a)$ là ký hiệu thường dùng.

Lưu ý:

• Tích phân không phụ thuộc vào việc chọn nguyên hàm $F(x)$.
• $\int_a^a f(x) dx = 0$
• $\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$

3. Tính chất của tích phân

• $\int_a^b kf(x) dx = k \int_a^b f(x) dx \quad (k \neq 0)$
• $\int_a^b [f(x) + g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$
• $\int_a^b [f(x) - g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx - \int_a^b g(x) dx$
• $\int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = \int_a^b f(x) dx \quad (a < c < b)$

4. Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu $f(x) \ge 0$ trên $[a, b]$, thì $\int_a^b f(x) dx$ là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$.

Ví dụ minh họa#

Ví dụ 1 (trang 17): Tính $\int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos t dt$.

Lời giải:

$\int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos t dt = \sin t \Big|_0^{\frac{\pi}{6}} = \sin \frac{\pi}{6} - \sin 0 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$

Ví dụ 2 (trang 17): Tính $\int_0^1 (x + 1) dx$ bằng ý nghĩa hình học.

Lời giải:

Tích phân cần tính là diện tích hình thang vuông $OABC$, với $OC = 1$, $AB = 2$, $OA = 1$. Vậy:

$\int_0^1 (x + 1) dx = S_{OABC} = \frac{(OC + AB) \cdot OA}{2} = \frac{(1 + 2) \cdot 1}{2} = \frac{3}{2}$

Ví dụ 3 (trang 17): Tính $\int_{-1}^1 |x - 2| dx$.

Lời giải:

$\int_{-1}^3 |x - 2| dx = \int_{-1}^2 (2 - x) dx + \int_2^3 (x - 2) dx = \left(2x - \frac{x^2}{2}\right) \Big|_{-1}^2 + \left(\frac{x^2}{2} - 2x\right) \Big|_2^3 = \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 5$

Lưu ý khi thi#

• Dạng bài thường gặp: Tính tích phân của một hàm số cho trước, hoặc tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số/từng phần (sẽ học ở các lớp trên).
• Lỗi sai phổ biến: Tính sai nguyên hàm, hoặc thay cận không đúng.
• Mẹo giải nhanh: Nắm vững bảng nguyên hàm cơ bản và các tính chất của tích phân.

---

Câu hỏi thường gặp#

TÍCH PHÂN trong Toán Lớp 12 học những gì?#

Sau bài học này, học sinh sẽ: Hiểu: Khái niệm tích phân của một hàm số. Biết: Các tính chất cơ bản của tích phân. Làm được: Tính tích phân của một số hàm số sơ cấp thường gặp. Vận dụng: Tích phân để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn.

Kiến thức trọng tâm của TÍCH PHÂN là gì?#

1. Diện tích hình thang cong Hình thang cong là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = fx, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b với a < b và fx ge 0 trên a, b. 2. Định nghĩa tích phân Cho hàm số fx liên tục trên đoạn a, b. Nếu Fx là một nguyên hàm của fx trên a, b, thì hiệu số Fb - Fa được gọi là

Lưu ý khi thi bài TÍCH PHÂN Toán Lớp 12?#

Dạng bài thường gặp: Tính tích phân của một hàm số cho trước, hoặc tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số/từng phần sẽ học ở các lớp trên. Lỗi sai phổ biến: Tính sai nguyên hàm, hoặc thay cận không đúng. Mẹo giải nhanh: Nắm vững bảng nguyên hàm cơ bản và các tính chất của tích phân.

---

Bài học liên quan#

• Bài 11: NGUYÊN HÀM | Toán Lớp 12
• Bài 13: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN | Toán Lớp 12
• Bài 14: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG | Toán Lớp 12
• Bài 15: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12
• Bài 16: CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12
• Bài 17: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU | Toán Lớp 12
• Bài 18: Xác suất có điều kiện | Toán Lớp 12
• Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes | Toán Lớp 12