Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | Toán Lớp 12

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số là bài học trong chương trình Toán Lớp 12. Trong bài này, học sinh sẽ: sau khi học xong bài này, các em sẽ:; hiểu**:; định nghĩa đường tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số..

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ#

Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số#

Mục tiêu học tập#

Sau khi học xong bài này, các em sẽ:

• Hiểu:
  • Định nghĩa đường tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
• Biết:
  • Cách tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
• Làm được:
  • Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Kiến thức trọng tâm#

• Đường tiệm cận ngang: Đường thẳng $y = y_0$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu $\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0$.

  Giải thích: Khi $x$ tiến đến vô cùng (dương hoặc âm), giá trị của hàm số $y$ tiến đến một giá trị cố định $y_0$, thì đường thẳng $y = y_0$ là tiệm cận ngang.

• Đường tiệm cận đứng: Đường thẳng $x = x_0$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm \infty$ hoặc $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm \infty$.

  Giải thích: Khi $x$ tiến đến $x_0$ từ bên phải hoặc bên trái, giá trị của hàm số $y$ tiến đến vô cùng (dương hoặc âm), thì đường thẳng $x = x_0$ là tiệm cận đứng.

• Đường tiệm cận xiên: Đường thẳng $y = ax + b$ ($a \ne 0$) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$.

  Giải thích: Khi $x$ tiến đến vô cùng (dương hoặc âm), khoảng cách giữa đồ thị hàm số và đường thẳng $y = ax + b$ tiến đến 0, thì đường thẳng $y = ax + b$ là tiệm cận xiên.

• Cách tìm tiệm cận xiên:

  • Tính $a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$.
  • Tính $b = \lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - ax]$.
  • Nếu $a$ và $b$ là các số hữu hạn thì đường thẳng $y = ax + b$ là tiệm cận xiên.

Ví dụ minh họa#

Ví dụ 1 (Sách giáo khoa Toán 12, trang 20): Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{3x - 2}{x + 1}$.

Giải:

• $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x - 2}{x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 3$.
• $\lim_{x \to -\infty} \frac{3x - 2}{x + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 3$.

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 3$.

Ví dụ 3 (Sách giáo khoa Toán 12, trang 22): Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{3 - x}{x + 2}$.

Giải:

• $\lim_{x \to -2^+} \frac{3 - x}{x + 2} = +\infty$.
• $\lim_{x \to -2^-} \frac{3 - x}{x + 2} = -\infty$.

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = -2$.

Ví dụ 5 (Sách giáo khoa Toán 12, trang 23): Cho hàm số $y = x + \frac{1}{x + 2}$. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Giải:

• $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x + 2} = 0$.
• $\lim_{x \to -\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x + 2} = 0$.

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x$.

Lưu ý khi thi#

• Dạng bài thường gặp:
  • Tìm tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số cho trước.
  • Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên.
• Lỗi sai phổ biến:
  • Không tìm tập xác định của hàm số.
  • Tính sai giới hạn.
  • Nhầm lẫn giữa tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.
• Mẹo giải nhanh:
  • Đối với hàm phân thức, tiệm cận đứng thường là nghiệm của mẫu số.
  • Sử dụng máy tính cầm tay để tính giới hạn.

---

Câu hỏi thường gặp#

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số trong Toán Lớp 12 học những gì?#

Sau khi học xong bài này, các em sẽ: Hiểu: Định nghĩa đường tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Biết: Cách tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Làm được: Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Kiến thức trọng tâm của Đường tiệm cận của đồ thị hàm số là gì?#

Đường tiệm cận ngang: Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = fx nếu lim{x to +infty} fx = y0 hoặc lim{x to -infty} fx = y0. Giải thích: Khi x tiến đến vô cùng dương hoặc âm, giá trị của hàm số y tiến đến một giá trị cố định y0, thì đường thẳng y = y0 là tiệm cận ng

Lưu ý khi thi bài Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán Lớp 12?#

Dạng bài thường gặp: Tìm tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số cho trước. Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên. Lỗi sai phổ biến: Không tìm tập xác định của hàm số. Tính sai giới hạn. Nhầm lẫn giữa tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. Mẹo giải

---

Bài học liên quan#

• Tính đơn điệu và cực trị của hàm số | Toán Lớp 12
• Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số | Toán Lớp 12
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số | Toán Lớp 12