Bài 14: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG | Toán Lớp 12

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG là bài học trong chương trình Toán Lớp 12. Trong bài này, học sinh sẽ: sau bài học này, các em sẽ:; nhận biết** được phương trình mặt phẳng trong không gian oxyz.; viết** được phương trình mặt phẳng trong các trường hợp:.

CHƯƠNG V: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN#

Bài 14: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG#

Mục tiêu học tập#

Sau bài học này, các em sẽ:

• Nhận biết được phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz.
• Viết được phương trình mặt phẳng trong các trường hợp:
  • Biết một điểm thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến.
  • Biết một điểm thuộc mặt phẳng và cặp vectơ chỉ phương.
  • Biết ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng.
• Nhận biết được hai mặt phẳng song song, hai mặt phẳng vuông góc.
• Tính được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
• Vận dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng và khoảng cách để giải quyết các bài toán thực tiễn.

Kiến thức trọng tâm#

1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

• Vectơ pháp tuyến: Vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ nếu giá của $\vec{n}$ vuông góc với $(\alpha)$.

  • Lưu ý:
    • Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của nó.
    • Nếu $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ thì $k\vec{n}$ (với $k \neq 0$) cũng là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.

• Cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng $(P)$. Khi đó, $\vec{u}$ và $\vec{v}$ được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(P)$.

  • Tích có hướng: Cho hai vectơ $\vec{u} = (a; b; c)$ và $\vec{v} = (a'; b'; c')$. Vectơ $\vec{n} = (bc' - b'c; ca' - c'a; ab' - a'b)$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ được gọi là tích có hướng của $\vec{u}$ và $\vec{v}$, kí hiệu là $[\vec{u}, \vec{v}]$.
  • Lưu ý:
    • $[\vec{u}, \vec{v}] = \vec{0}$ khi và chỉ khi $\vec{u}, \vec{v}$ cùng phương.
    • Nếu $\vec{u}, \vec{v}$ là cặp vectơ chỉ phương của $(P)$ thì $[\vec{u}, \vec{v}]$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng:

$Ax + By + Cz + D = 0$

trong đó $A, B, C$ không đồng thời bằng 0. Phương trình này được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

• Lưu ý: Mỗi phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ (với $A, B, C$ không đồng thời bằng 0) xác định một mặt phẳng nhận $\vec{n} = (A; B; C)$ làm một vectơ pháp tuyến.

3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

• Đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến: Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ thì phương trình của $(\alpha)$ là:

  $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

  hoặc $Ax + By + Cz + D = 0$, với $D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$.

• Đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M$ và biết cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{v}$ có thể thực hiện theo các bước sau:

  1. Tìm vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$.
  2. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua $M$ và biết vectơ pháp tuyến $\vec{n}$.

• Đi qua ba điểm không thẳng hàng: Bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng $A, B, C$ có thể thực hiện theo các bước sau:

  1. Tìm cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$.
  2. Tìm vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]$.
  3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua $A$ và biết vectơ pháp tuyến $\vec{n}$.

4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc, song song với nhau

• Vuông góc: Cho hai mặt phẳng $(\alpha): Ax + By + Cz + D = 0$ và $(\beta): A'x + B'y + C'z + D' = 0$, với hai vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ và $\vec{n'} = (A'; B'; C')$. Khi đó:

  $(\alpha) \perp (\beta) \Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{n'} = 0 \Leftrightarrow AA' + BB' + CC' = 0$

  • Lưu ý: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng kia.

• Song song: Cho hai mặt phẳng $(\alpha): Ax + By + Cz + D = 0$ và $(\beta): A'x + B'y + C'z + D' = 0$, với các vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ và $\vec{n'} = (A'; B'; C')$. Khi đó:

  $(\alpha) // (\beta) \Leftrightarrow \vec{n} = k\vec{n'} \Leftrightarrow \begin{cases} A' = kA \\ B' = kB \\ C' = kC \\ D' \neq kD \end{cases} \text{ với k nào đó.}$

  • Lưu ý: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia.

5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm $M(x_0; y_0; z_0)$ đến mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ là:

$d(M, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Ví dụ minh họa#

Ví dụ 1: (Trang 30, SGK) Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ (H.5.3). Trong các khẳng định sau, những khẳng định nào là đúng?

a) $\overrightarrow{AA'}$ và $2\overrightarrow{BB'}$ đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$.

b) $\overrightarrow{BD}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ACC'A')$.

c) $\overrightarrow{A'C'}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$.

Giải:

Vì các đường thẳng $AA', BB'$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ nên $\overrightarrow{AA'}, 2\overrightarrow{BB'}$ đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$.

Đường thẳng $BD$ vuông góc với hai đường thẳng $AC$ và $AA'$ nên vuông góc với mặt phẳng $(ACC'A')$. Vậy $\overrightarrow{BD}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ACC'A')$.

Đường thẳng $A'C'$ không vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ nên vectơ $\overrightarrow{A'C'}$ không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Vậy các khẳng định a và b là đúng, khẳng định c là sai.

Ví dụ 6: (Trang 33, SGK) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(2; -1; 0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; -4; 6)$.

Giải:

Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình là:

$3(x - 2) - 4[y - (-1)] + 6(z - 0) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 6z - 10 = 0$

Ví dụ 12: (Trang 38, SGK) Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ điểm $M(1; 2; -1)$ đến mặt phẳng $(P): x + 2y - 2z + 5 = 0$.

Giải:

Khoảng cách từ điểm $M(1; 2; -1)$ đến mặt phẳng $(P): x + 2y - 2z + 5 = 0$ là:

$d(M, (P)) = \frac{|1 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot (-1) + 5|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 + 4 + 2 + 5|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{12}{3} = 4$

Lưu ý khi thi#

• Dạng bài thường gặp:
  • Viết phương trình mặt phẳng khi biết các yếu tố khác nhau (điểm, vectơ pháp tuyến, cặp vectơ chỉ phương, ba điểm).
  • Xác định vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng.
  • Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
  • Các bài toán liên quan đến hình học không gian, yêu cầu sử dụng phương pháp tọa độ để giải.
• Lỗi sai phổ biến:
  • Nhầm lẫn giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương.
  • Sai sót trong tính toán tích có hướng của hai vectơ.
  • Quên lấy giá trị tuyệt đối khi tính khoảng cách.
• Mẹo giải nhanh:
  • Nắm vững các công thức và điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc.
  • Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra các phép tính.

---

Câu hỏi thường gặp#

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG trong Toán Lớp 12 học những gì?#

Sau bài học này, các em sẽ: Nhận biết được phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz. Viết được phương trình mặt phẳng trong các trường hợp: Biết một điểm thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến. Biết một điểm thuộc mặt phẳng và cặp vectơ chỉ phương. Biết ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. Nhậ

Kiến thức trọng tâm của PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG là gì?#

1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng Vectơ pháp tuyến: Vectơ vec{n} neq vec{0} được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng alpha nếu giá của vec{n} vuông góc với alpha. Lưu ý: Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của nó. Nếu v

Lưu ý khi thi bài PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Toán Lớp 12?#

Dạng bài thường gặp: Viết phương trình mặt phẳng khi biết các yếu tố khác nhau điểm, vectơ pháp tuyến, cặp vectơ chỉ phương, ba điểm. Xác định vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Các bài toán liên quan đến hình học không gian, yêu cầu sử dụng phương p

---

Bài học liên quan#

• Bài 11: NGUYÊN HÀM | Toán Lớp 12
• Bài 12: TÍCH PHÂN | Toán Lớp 12
• Bài 13: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN | Toán Lớp 12
• Bài 15: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12
• Bài 16: CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12
• Bài 17: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU | Toán Lớp 12
• Bài 18: Xác suất có điều kiện | Toán Lớp 12
• Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes | Toán Lớp 12