Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes | Toán Lớp 12

Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes là bài học trong chương trình Toán Lớp 12. Trong bài này, học sinh sẽ: sau khi học xong bài này, các em sẽ:; mô tả và biết vận dụng công thức xác suất toàn phần vào các tình huống có nội dung thực tiễn.; nắm được và biết vận dụng công thức bayes vào các tình huống có nội dung thực tiễn..

CHƯƠNG VI. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN#

Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes#

Mục tiêu học tập#

Sau khi học xong bài này, các em sẽ:

• Mô tả và biết vận dụng công thức xác suất toàn phần vào các tình huống có nội dung thực tiễn.
• Nắm được và biết vận dụng công thức Bayes vào các tình huống có nội dung thực tiễn.

Kiến thức trọng tâm#

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần giúp chúng ta tính xác suất của một biến cố khi biết xác suất của nó trong các trường hợp khác nhau.

Công thức: Cho hai biến cố $A$ và $B$. Khi đó, ta có công thức sau:

$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})$

Giải thích công thức:

• $P(B)$: Xác suất xảy ra biến cố $B$.
• $P(A)$: Xác suất xảy ra biến cố $A$.
• $P(\overline{A})$: Xác suất xảy ra biến cố đối của $A$ (tức là $A$ không xảy ra).
• $P(B|A)$: Xác suất xảy ra biến cố $B$ khi biết $A$ đã xảy ra.
• $P(B|\overline{A})$: Xác suất xảy ra biến cố $B$ khi biết $A$ không xảy ra.

Công thức này chia trường hợp để tính $P(B)$. Biến cố $B$ có thể xảy ra khi $A$ xảy ra hoặc khi $A$ không xảy ra.

Tổng quát: Nếu $A_1, A_2, ..., A_n$ là các biến cố xung khắc và phủ kín không gian mẫu $\Omega$, thì với mọi biến cố $B$, ta có:

$P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) + ... + P(A_n) \cdot P(B|A_n)$

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes cho phép chúng ta tính xác suất của một biến cố sau khi đã biết một biến cố khác có liên quan đã xảy ra.

Công thức: Cho hai biến cố $A$ và $B$, với $P(B) > 0$. Khi đó, ta có công thức sau:

$P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})}$

Giải thích công thức:

• $P(A|B)$: Xác suất của biến cố $A$ khi biết $B$ đã xảy ra.
• $P(A)$: Xác suất xảy ra biến cố $A$ (trước khi biết $B$).
• $P(B|A)$: Xác suất xảy ra biến cố $B$ khi biết $A$ đã xảy ra.
• $P(\overline{A})$: Xác suất xảy ra biến cố đối của $A$ (tức là $A$ không xảy ra).
• $P(B|\overline{A})$: Xác suất xảy ra biến cố $B$ khi biết $A$ không xảy ra.

Công thức Bayes cho phép chúng ta "đảo ngược" điều kiện, tức là tính $P(A|B)$ khi biết $P(B|A)$.

Ví dụ minh họa#

Ví dụ 1: (Lấy từ sách trang 73)

Ông An hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là 0,4. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là 0,7. Xét một tuần mà thứ Hai ông An đi làm bằng xe buýt. Tính xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông An đi làm bằng xe máy.

Lời giải:

Gọi $A$ là biến cố: “Thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy”; $B$ là biến cố: “Thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy”. Ta cần tính $P(B)$. Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})$

• Tính $P(A)$: Vì thứ Hai, ông An đi làm bằng xe buýt nên xác suất để thứ Ba (hôm sau), ông đi làm bằng xe máy là 0,4. Vậy $P(A) = 0,4$.
• Tính $P(\overline{A})$: Ta có $P(\overline{A}) = 1 - 0,4 = 0,6$.
• Tính $P(B|A)$: Đây là xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy. Theo giả thiết, nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là 0,7 và đi làm bằng xe máy là 1 – 0,7 = 0,3. Do đó, nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy thì xác suất để thứ Tư, ông đi làm bằng xe máy là 0,3. Vậy $P(B|A) = 0,3$.
• Tính $P(B|\overline{A})$: Đây là xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông An đi làm bằng xe buýt. Theo giả thiết, nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là 0,4. Do đó nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe buýt thì xác suất để thứ Tư, ông đi làm bằng xe máy là 0,4. Suy ra $P(B|\overline{A}) = 0,4$.

Vậy: $P(B) = 0,4 \cdot 0,3 + 0,6 \cdot 0,4 = 0,36$.

Ví dụ 2: (Lấy từ sách trang 76)

Trong một kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông, một tỉnh X có 80% học sinh lựa chọn tổ hợp A00 (gồm các môn Toán, Vật lí, Hoá học). Biết rằng, nếu một học sinh chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là 0,6; còn nếu một học sinh không chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là 0,7. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X đã tốt nghiệp trung học phổ thông trong kì thi trên. Biết rằng học sinh này đã đỗ đại học. Tính xác suất để học sinh đó chọn tổ hợp A00.

Lời giải:

Gọi $A$ là biến cố: “Học sinh đó chọn tổ hợp A00"; $B$ là biến cố: “Học sinh đó đỗ đại học”.

Ta cần tính $P(A|B)$. Theo công thức Bayes, ta cần biết: $P(A), P(\overline{A}), P(B|A)$ và $P(B|\overline{A})$.

Ta có: $P(A) = 0,8; P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,8 = 0,2$.

$P(B|A)$ là xác suất để một học sinh đỗ đại học với điều kiện học sinh đó chọn tổ hợp A00 $\Rightarrow P(B|A) = 0,6$.

$P(B|\overline{A})$ là xác suất để một học sinh đỗ đại học với điều kiện học sinh đó không chọn tổ hợp A00 $\Rightarrow P(B|\overline{A}) = 0,7$.

Thay vào công thức Bayes ta được:

$P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})} = \frac{0,8 \cdot 0,6}{0,8 \cdot 0,6 + 0,2 \cdot 0,7} \approx 0,7742$.

Ví dụ 3: (Lấy từ sách trang 77)

Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng $z – 1 = 0$, mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng $x + y + 50z – 100 = 0$. Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau?

Lời giải:

Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1} = (0; 0; 1)$. Mặt phẳng trần nhà tầng 1 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2} = (0; 0; 1)$. Mặt phẳng mái nhà tầng 2 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_3} = (1; 1; 50)$.

Ta thấy $\overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{n_2}$ nên mặt phẳng (Oxy) song song với mặt phẳng trần nhà tầng 1.

Lưu ý khi thi#

• Dạng bài thường gặp: Các bài toán liên quan đến chẩn đoán bệnh, dự báo thời tiết, đánh giá sản phẩm.
• Lỗi sai phổ biến: Không xác định đúng các biến cố $A, B$ và các xác suất $P(A), P(B), P(A|B), P(B|A)$.
• Mẹo giải nhanh: Vẽ sơ đồ hình cây để trực quan hóa bài toán, đặc biệt là các bài toán có nhiều giai đoạn.

Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!

---

---

Câu hỏi thường gặp#

Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes trong Toán Lớp 12 học những gì?#

Sau khi học xong bài này, các em sẽ: Mô tả và biết vận dụng công thức xác suất toàn phần vào các tình huống có nội dung thực tiễn. Nắm được và biết vận dụng công thức Bayes vào các tình huống có nội dung thực tiễn.

Kiến thức trọng tâm của Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes là gì?#

1. Công thức xác suất toàn phần Công thức xác suất toàn phần giúp chúng ta tính xác suất của một biến cố khi biết xác suất của nó trong các trường hợp khác nhau. Công thức: Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức sau: PB = PA cdot PBA + Poverline{A} cdot PBoverline{A} Giải thích công thức: P

Lưu ý khi thi bài Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes Toán Lớp 12?#

Dạng bài thường gặp: Các bài toán liên quan đến chẩn đoán bệnh, dự báo thời tiết, đánh giá sản phẩm. Lỗi sai phổ biến: Không xác định đúng các biến cố A, B và các xác suất PA, PB, PAB, PBA. Mẹo giải nhanh: Vẽ sơ đồ hình cây để trực quan hóa bài toán, đặc biệt là các bài toán có nhiều giai đoạn. Chúc

---

Bài học liên quan#

• Bài 11: NGUYÊN HÀM | Toán Lớp 12
• Bài 12: TÍCH PHÂN | Toán Lớp 12
• Bài 13: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN | Toán Lớp 12
• Bài 14: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG | Toán Lớp 12
• Bài 15: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12
• Bài 16: CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12
• Bài 17: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU | Toán Lớp 12
• Bài 18: Xác suất có điều kiện | Toán Lớp 12