Bài 15: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN là bài học trong chương trình Toán Lớp 12. Trong bài này, học sinh sẽ: sau bài học này, các em sẽ:; nhận biết** các phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng.; viết** được phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương..

CHƯƠNG V: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN#

Bài 15: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN#

Mục tiêu học tập#

Sau bài học này, các em sẽ:

• Nhận biết các phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng.
• Viết được phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương.
• Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.
• Nhận biết vị trí tương đối của hai đường thẳng.
• Vận dụng kiến thức về phương trình đường thẳng, vị trí tương đối giữa hai đường thẳng vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn.

Kiến thức trọng tâm#

1. Phương trình đường thẳng

• Vectơ chỉ phương: Vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với $\Delta$.

  • Lưu ý:
    • Một đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ chỉ phương.
    • Nếu $\vec{u}$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$ thì $k\vec{u}$ (với $k \neq 0$) cũng là một vectơ chỉ phương của $\Delta$.

• Phương trình tham số: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$. Hệ phương trình:

  $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$

  được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ ($t$ là tham số, $t \in \mathbb{R}$).

  • Lưu ý: Với các số $a, b, c$ không đồng thời bằng 0, hệ phương trình trên xác định một đường thẳng đi qua $M(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$.
  • Từ phương trình tham số của đường thẳng, mỗi giá trị của tham số tương ứng với một điểm thuộc đường thẳng đó và ngược lại.

• Phương trình chính tắc: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ với $a, b, c \neq 0$. Hệ phương trình:

  $\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$

  được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$.

2. Lập phương trình đường thẳng

• Đi qua hai điểm: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt $A_1(x_1; y_1; z_1)$ và $A_2(x_2; y_2; z_2)$. Đường thẳng $A_1A_2$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{A_1A_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

  • Đường thẳng $A_1A_2$ có phương trình tham số là:

    $\begin{cases} x = x_1 + (x_2 - x_1)t \\ y = y_1 + (y_2 - y_1)t \\ z = z_1 + (z_2 - z_1)t \end{cases} (t \in \mathbb{R})$

  • Trong trường hợp $x_1 \neq x_2, y_1 \neq y_2, z_1 \neq z_2$ thì đường thẳng $A_1A_2$ có phương trình chính tắc là:

    $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$

3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$ lần lượt đi qua các điểm $A_1(x_1; y_1; z_1), A_2(x_2; y_2; z_2)$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_1} = (a_1; b_1; c_1), \vec{u_2} = (a_2; b_2; c_2)$. Khi đó:

• $\Delta_1 // \Delta_2 \Leftrightarrow \vec{u_1}$ cùng phương với $\vec{u_2}$ và $A_1 \notin \Delta_2$.
• $\Delta_1 = \Delta_2 \Leftrightarrow \vec{u_1}$ cùng phương với $\vec{u_2}$ và $A_1 \in \Delta_2$.
• $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau $\Leftrightarrow \begin{cases} [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \neq \vec{0} \\ \overrightarrow{A_1A_2} \cdot [\vec{u_1}, \vec{u_2}] = 0 \end{cases}$
• $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau $\Leftrightarrow \overrightarrow{A_1A_2} \cdot [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \neq 0$.
• $\Delta_1 \perp \Delta_2 \Leftrightarrow \vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 0 \Leftrightarrow a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$.

Ví dụ minh họa#

Ví dụ 2: (Trang 42, SGK) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta: \begin{cases} x = -1 + 3t \\ y = 1 \\ z = 2t \end{cases}$

a) Hãy chỉ ra một điểm thuộc $\Delta$ và một vectơ chỉ phương của $\Delta$.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta'$ đi qua $A(2; 1; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (3; 0; 2)$.

Giải:

a) Do $\Delta$ có phương trình $\begin{cases} x = -1 + 3t \\ y = 1 + 0t \\ z = 0 + 2t \end{cases}$ nên điểm $M(-1; 1; 0)$ thuộc $\Delta$ và $\vec{u} (3; 0; 2)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$.

b) Đường thẳng $\Delta'$ có phương trình tham số là $\begin{cases} x = 2 + 3s \\ y = 1 \\ z = 2s \end{cases}$

Ví dụ 6: (Trang 44, SGK) Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A(1; 2; -1)$ và $B(2; 4; 0)$.

Giải:

Đường thẳng $AB$ đi qua $A(1; 2; -1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (1; 2; 1)$. Do đó $AB$ có phương trình chính tắc là $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{1}$ và có phương trình tham số là $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = -1 + t \end{cases}$

Ví dụ 8: (Trang 46, SGK) Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau và chéo nhau:

$\Delta_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 2t \end{cases}$ và $\Delta_2: \frac{x - 4}{3} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{-1}$

Giải:

Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $A_1(1; 2; -1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_1} = (1; -1; 2)$.

Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $A_2(4; -1; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_2} = (3; 1; -1)$.

Vì $\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 1 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 0$ nên $\vec{u_1}$ vuông góc với $\vec{u_2}$. Do đó $\Delta_1$ vuông góc với $\Delta_2$.

Ta có $\overrightarrow{A_1A_2} = (3; -3; 1)$ và $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] = (-1; 7; 4)$.

Do $\overrightarrow{A_1A_2} \cdot [\vec{u_1}, \vec{u_2}] = 3 \cdot (-1) + (-3) \cdot 7 + 1 \cdot 4 = -20 \neq 0$ nên $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau.

Lưu ý khi thi#

• Dạng bài thường gặp:
  • Viết phương trình đường thẳng khi biết các yếu tố khác nhau (điểm, vectơ chỉ phương, hai điểm).
  • Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
  • Các bài toán liên quan đến hình học không gian, yêu cầu sử dụng phương pháp tọa độ để giải.
• Lỗi sai phổ biến:
  • Nhầm lẫn giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương.
  • Không kiểm tra điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
• Mẹo giải nhanh:
  • Nắm vững các công thức và điều kiện để hai đường thẳng song song, vuông góc, cắt nhau, chéo nhau.
  • Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra các phép tính.

---

Câu hỏi thường gặp#

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN trong Toán Lớp 12 học những gì?#

Sau bài học này, các em sẽ: Nhận biết các phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng. Viết được phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm. Nhận biết vị trí tương đối của hai đường thẳng. Vận dụng kiến thức về phương trình đư

Kiến thức trọng tâm của PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN là gì?#

1. Phương trình đường thẳng Vectơ chỉ phương: Vectơ vec{u} neq vec{0} được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng Delta nếu giá của vec{u} song song hoặc trùng với Delta. Lưu ý: Một đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ chỉ phương. Nếu vec{u} là một vectơ chỉ ph

Lưu ý khi thi bài PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Toán Lớp 12?#

Dạng bài thường gặp: Viết phương trình đường thẳng khi biết các yếu tố khác nhau điểm, vectơ chỉ phương, hai điểm. Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Các bài toán liên quan đến hình học không gian, yêu cầu sử dụng phương pháp tọa độ để giải. Lỗi sai phổ biến: Nhầm lẫn giữa vectơ pháp tu

---

Bài học liên quan#

• Bài 11: NGUYÊN HÀM | Toán Lớp 12
• Bài 12: TÍCH PHÂN | Toán Lớp 12
• Bài 13: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN | Toán Lớp 12
• Bài 14: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG | Toán Lớp 12
• Bài 16: CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12
• Bài 17: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU | Toán Lớp 12
• Bài 18: Xác suất có điều kiện | Toán Lớp 12
• Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes | Toán Lớp 12