Bài 6: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là bài học trong chương trình Toán Lớp 12. Trong bài này, học sinh sẽ: sau bài học này, các em sẽ:; nhận biết được khái niệm vectơ trong không gian.; nắm vững các khái niệm liên quan đến vectơ như phương, hướng, độ dài, vectơ cùng phương, vectơ bằng nhau..

CHƯƠNG II. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN#

Bài 6: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN#

Mục tiêu học tập#

Sau bài học này, các em sẽ:

• Nhận biết được khái niệm vectơ trong không gian.
• Nắm vững các khái niệm liên quan đến vectơ như phương, hướng, độ dài, vectơ cùng phương, vectơ bằng nhau.
• Thực hiện thành thạo các phép toán vectơ trong không gian (tổng, hiệu, tích của một số với một vectơ).

Kiến thức trọng tâm#

1. Vectơ trong không gian

• Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
  • Điểm đầu của đoạn thẳng gọi là điểm gốc hay điểm đầu của vectơ.
  • Điểm cuối của đoạn thẳng gọi là điểm ngọn hay điểm cuối của vectơ.
• Kí hiệu: Vectơ có điểm đầu là $A$ và điểm cuối là $B$ được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$. Vectơ cũng có thể được kí hiệu bằng các chữ cái thường như $\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}, \vec{y},...$
• Giá của vectơ: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
• Độ dài của vectơ: Khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là độ dài của vectơ, kí hiệu là $|\overrightarrow{AB}|$ hoặc $|\vec{a}|$.

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng, bằng nhau

• Vectơ cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
• Vectơ cùng hướng: Nếu hai vectơ cùng phương và có cùng chiều thì chúng được gọi là cùng hướng.
• Vectơ ngược hướng: Nếu hai vectơ cùng phương và có chiều ngược nhau thì chúng được gọi là ngược hướng.
• Vectơ bằng nhau: Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\vec{a} = \vec{b}$, nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
• Vectơ - không: Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là vectơ - không, kí hiệu là $\vec{0}$. Vectơ - không có độ dài bằng 0 và được coi là cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

3. Tổng và hiệu của hai vectơ

• Tổng hai vectơ: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Lấy một điểm $A$ bất kì, dựng $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ và $\overrightarrow{BC} = \vec{b}$. Khi đó, vectơ $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu $\overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}$.
• Quy tắc ba điểm: Với ba điểm $A, B, C$ bất kì, ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
• Quy tắc hình bình hành: Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$.
• Hiệu hai vectơ: Vectơ đối của vectơ $\vec{b}$ được kí hiệu là $-\vec{b}$. Tổng của vectơ $\vec{a}$ và vectơ $-\vec{b}$ được gọi là hiệu của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.
• Quy tắc hiệu: Với ba điểm $O, A, B$ bất kì, ta có $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$.

4. Tích của một số với một vectơ

• Định nghĩa: Tích của một số thực $k$ với một vectơ $\vec{a}$ là một vectơ, kí hiệu $k\vec{a}$, có các tính chất sau:
  • Cùng hướng với $\vec{a}$ nếu $k > 0$, ngược hướng với $\vec{a}$ nếu $k < 0$.
  • Độ dài bằng $|k||\vec{a}|$.
• Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (với $\vec{b} \neq \vec{0}$) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực $k$ sao cho $\vec{a} = k\vec{b}$.

Ví dụ minh họa#

Ví dụ 1 (Trang 47): Cho tứ diện $ABCD$ có độ dài mỗi cạnh bằng 1.

a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là $A$ và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện?

b) Trong các vectơ tìm được ở câu a, những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng $(ABC)$?

c) Tính độ dài của các vectơ tìm được ở câu a.

Lời giải:

a) Các vectơ có điểm đầu là $A$ và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện là $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$. Vậy có 3 vectơ.

b) Trong ba vectơ trên, chỉ có $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ có giá nằm trong mặt phẳng $(ABC)$.

c) Vì tứ diện $ABCD$ có độ dài mỗi cạnh bằng 1 nên $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AD}| = 1$.

Ví dụ 2 (Trang 48): Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$.

a) Trong ba vectơ $\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CC'}, \overrightarrow{B'B}$, vectơ nào bằng vectơ $\overrightarrow{AA'}$? Giải thích vì sao.

b) Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Xác định điểm $M'$ sao cho $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AA'}$.

Lời giải:

a) Vì $ACC'A'$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{CC'}$.

b) Vì $BCC'B'$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'}$. Do đó, $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{BB'}$ khi $M'$ là trung điểm của $B'C'$.

Ví dụ 3 (Trang 49): Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD'}$.

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$. Do đó, $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AD'}$.

Vì $ADD'A'$ là hình vuông nên $AD' = \sqrt{AD^2 + DD'^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Vậy $|\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD'}| = \sqrt{2}$.

Lưu ý khi thi#

• Các dạng bài thường gặp:
  • Xác định các vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng, bằng nhau trong một hình cho trước.
  • Tính tổng, hiệu các vectơ.
  • Chứng minh các đẳng thức vectơ.
  • Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước.
• Lỗi sai phổ biến:
  • Nhầm lẫn giữa vectơ cùng phương và vectơ bằng nhau.
  • Sai dấu khi thực hiện phép trừ vectơ.
  • Không nắm vững các quy tắc hình học (quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành).
• Mẹo giải nhanh:
  • Khi chứng minh các đẳng thức vectơ, nên biến đổi một vế thành vế còn lại hoặc biến đổi cả hai vế về một biểu thức trung gian.
  • Sử dụng các quy tắc hình học một cách linh hoạt để đơn giản hóa bài toán.

---

Câu hỏi thường gặp#

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN trong Toán Lớp 12 học những gì?#

Sau bài học này, các em sẽ: Nhận biết được khái niệm vectơ trong không gian. Nắm vững các khái niệm liên quan đến vectơ như phương, hướng, độ dài, vectơ cùng phương, vectơ bằng nhau. Thực hiện thành thạo các phép toán vectơ trong không gian tổng, hiệu, tích của một số với một vectơ.

Kiến thức trọng tâm của VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là gì?#

1. Vectơ trong không gian Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Điểm đầu của đoạn thẳng gọi là điểm gốc hay điểm đầu của vectơ. Điểm cuối của đoạn thẳng gọi là điểm ngọn hay điểm cuối của vectơ. Kí hiệu: Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là overrightarrow

Lưu ý khi thi bài VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Toán Lớp 12?#

Các dạng bài thường gặp: Xác định các vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng, bằng nhau trong một hình cho trước. Tính tổng, hiệu các vectơ. Chứng minh các đẳng thức vectơ. Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước. Lỗi sai phổ biến: Nhầm lẫn giữa vectơ cùng phương và vectơ bằng nhau. Sai dấu

---

Bài học liên quan#

• Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số | Toán Lớp 12
• Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số | Toán Lớp 12
• Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | Toán Lớp 12
• Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số | Toán Lớp 12
• Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn | Toán Lớp 12
• Bài 7: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12
• Bài 8: BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ | Toán Lớp 12
• Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị | Toán Lớp 12
• Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn | Toán Lớp 12