Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn | Toán Lớp 12

Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn là bài học trong chương trình Toán Lớp 12. Trong bài này, học sinh sẽ: sau khi học xong bài này, các em sẽ:; hiểu**:; ý nghĩa của đạo hàm trong một số lĩnh vực thực tế (vật lý, kinh tế,...)..

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ#

Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn#

Mục tiêu học tập#

Sau khi học xong bài này, các em sẽ:

Hiểu:
- Ý nghĩa của đạo hàm trong một số lĩnh vực thực tế (vật lý, kinh tế,...).
- Các bước giải bài toán tối ưu hóa.
Biết:
- Cách vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán thực tế.
Làm được:
- Giải các bài toán liên quan đến tốc độ, chi phí, lợi nhuận,....

Kiến thức trọng tâm#

Tốc độ thay đổi của một đại lượng:
- Nếu $y = f(x)$ thì đạo hàm $f'(x)$ biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của $y$ đối với $x$ tại điểm $x$ .
- Trong vật lý:
  - Vận tốc là đạo hàm của quãng đường theo thời gian.
  - Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian.
- Trong kinh tế:
  - Chi phí biên là đạo hàm của chi phí theo số lượng sản phẩm.
  - Doanh thu biên là đạo hàm của doanh thu theo số lượng sản phẩm.
  - Lợi nhuận biên là đạo hàm của lợi nhuận theo số lượng sản phẩm.
Bài toán tối ưu hóa:
- Các bước giải:
  1. Xác định đại lượng $Q$ cần tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
  2. Biểu diễn $Q$ theo một biến số $x$ .
  3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số $Q(x)$ bằng các phương pháp đã biết.
  4. Kết luận.

Ví dụ minh họa#

Hình minh họa AI — Toán

* Hình ảnh chỉ mang tính chất minh họa và được tạo bởi AI Nano Banana

Ví dụ 1 (Sách giáo khoa Toán 12, trang 33): Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2 m với vận tốc ban đầu 24,5 m/s là $h(t) = 2 + 24,5t - 4,9t^2$ .

a) Tìm vận tốc của vật sau 2 giây.

b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?

c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?

Giải:

a) Vận tốc của vật là $v(t) = h'(t) = 24,5 - 9,8t$ (m/s). Sau 2 giây, vận tốc của vật là $v(2) = 24,5 - 9,8 \cdot 2 = 4,9$ (m/s).

b) Vật đạt độ cao lớn nhất khi $v(t) = 0 \Leftrightarrow 24,5 - 9,8t = 0 \Leftrightarrow t = 2,5$ (giây). Độ cao lớn nhất là $h(2,5) = 2 + 24,5 \cdot 2,5 - 4,9 \cdot 2,5^2 = 32,625$ (m).

c) Vật chạm đất khi $h(t) = 0 \Leftrightarrow 2 + 24,5t - 4,9t^2 = 0 \Leftrightarrow t \approx 5,08$ (giây). Vận tốc của vật lúc chạm đất là $v(5,08) = 24,5 - 9,8 \cdot 5,08 \approx -25,284$ (m/s).

Ví dụ 6 (Sách giáo khoa Toán 12, trang 38): Một nhà phân tích thị trường làm việc cho một công ty sản xuất thiết bị gia dụng nhận thấy rằng nếu công ty sản xuất và bán $x$ chiếc máy xay sinh tố hằng tháng thì lợi nhuận thu được (nghìn đồng) là $P(x) = -0,3x^3 + 36x^2 + 1800x - 48000$ . Hỏi hằng tháng công ty phải sản xuất ít nhất bao nhiêu chiếc máy xay sinh tố để hòa vốn?

Giải:

Công ty hòa vốn khi $P(x) = 0$ . Ta cần giải phương trình $-0,3x^3 + 36x^2 + 1800x - 48000 = 0$ .

Sử dụng máy tính cầm tay, ta tìm được nghiệm $x \approx 20$ .

Vậy hằng tháng công ty cần sản xuất ít nhất 20 chiếc máy xay sinh tố để hòa vốn.

Lưu ý khi thi#

Dạng bài thường gặp:
- Bài toán về chuyển động (tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường,...).
- Bài toán về tối ưu hóa (tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích, thể tích, chi phí, lợi nhuận,...).
Lỗi sai phổ biến:
- Không hiểu rõ yêu cầu của bài toán.
- Thiết lập hàm số không chính xác.
- Giải phương trình hoặc bất phương trình sai.
- Không kết luận hoặc kết luận không phù hợp với yêu cầu của bài toán.
Mẹo giải nhanh:
- Đọc kỹ đề bài để hiểu rõ yêu cầu.
- Vẽ hình minh họa (nếu có thể).
- Sử dụng máy tính cầm tay để giải phương trình, bất phương trình và tính đạo hàm.
- Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay số hoặc vẽ đồ thị.

Hy vọng bài giảng này sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn khi làm bài tập! Chúc các em học tốt!

Tuyệt vời! Chúng ta sẽ cùng nhau xây dựng bài giảng chi tiết cho CHƯƠNG II. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. Chương này sẽ giúp các em hình dung và làm việc với không gian ba chiều một cách dễ dàng hơn nhờ công cụ vectơ và toạ độ. Nào, chúng ta bắt đầu nhé!

Câu hỏi thường gặp#

Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn trong Toán Lớp 12 học những gì?#

Sau khi học xong bài này, các em sẽ: Hiểu: Ý nghĩa của đạo hàm trong một số lĩnh vực thực tế vật lý, kinh tế,.... Các bước giải bài toán tối ưu hóa. Biết: Cách vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán thực tế. Làm được: Giải các bài toán liên quan đến tốc độ, chi phí, lợi nhuận,....

Kiến thức trọng tâm của Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn là gì?#

Tốc độ thay đổi của một đại lượng: Nếu y = fx thì đạo hàm f'x biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của y đối với x tại điểm x. Trong vật lý: Vận tốc là đạo hàm của quãng đường theo thời gian. Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian. Trong kinh tế: Chi phí biên là đạo hàm của chi phí theo số lượng

Lưu ý khi thi bài Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn Toán Lớp 12?#

Dạng bài thường gặp: Bài toán về chuyển động tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường,.... Bài toán về tối ưu hóa tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích, thể tích, chi phí, lợi nhuận,.... Lỗi sai phổ biến: Không hiểu rõ yêu cầu của bài toán. Thiết lập hàm số không chính xác. Giải phương trình hoặc bấ

Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn | Toán Lớp 12

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ#