Bài 8: BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ | Toán Lớp 12

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ là bài học trong chương trình Toán Lớp 12. Trong bài này, học sinh sẽ: sau bài học này, các em sẽ:; nắm vững các công thức toạ độ của các phép toán vectơ trong không gian oxyz.; tính toán thành thạo các phép toán vectơ khi biết toạ độ của các vectơ..

CHƯƠNG II. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN#

Bài 8: BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ#

Mục tiêu học tập#

Sau bài học này, các em sẽ:

Nắm vững các công thức toạ độ của các phép toán vectơ trong không gian Oxyz.
Tính toán thành thạo các phép toán vectơ khi biết toạ độ của các vectơ.
Vận dụng các kiến thức về toạ độ vectơ để giải các bài toán liên quan đến hình học không gian.

Kiến thức trọng tâm#

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x'; y'; z')$ . Khi đó:

Tổng hai vectơ: $\vec{a} + \vec{b} = (x + x'; y + y'; z + z')$ .
Hiệu hai vectơ: $\vec{a} - \vec{b} = (x - x'; y - y'; z - z')$ .
Tích của một số với một vectơ: $k\vec{a} = (kx; ky; kz)$ , với $k$ là một số thực.
Tích vô hướng của hai vectơ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = xx' + yy' + zz'$ .
Độ dài của vectơ: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ .
Côsin của góc giữa hai vectơ: $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{xx' + yy' + zz'}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2}}$ .
Điều kiện để hai vectơ vuông góc: $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow xx' + yy' + zz' = 0$ .
Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng: Cho hai điểm $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$ . Toạ độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ là $M\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2}\right)$ .
Toạ độ trọng tâm của tam giác: Cho tam giác $ABC$ có $A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C)$ . Toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là $G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}; \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right)$ .

Ví dụ minh họa#

Hình minh họa AI — Toán

* Hình ảnh chỉ mang tính chất minh họa và được tạo bởi AI Nano Banana

Ví dụ 1 (Trang 68): Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\vec{a} = (2; 1; 5)$ và $\vec{b} = (2; 2; 1)$ . Tìm toạ độ của mỗi vectơ sau:

a) $\vec{a} - \vec{b}$ ;

b) $3\vec{a} + 2\vec{b}$ .

Lời giải:

a) $\vec{a} - \vec{b} = (2 - 2; 1 - 2; 5 - 1) = (0; -1; 4)$ .

b) $3\vec{a} = (3 \cdot 2; 3 \cdot 1; 3 \cdot 5) = (6; 3; 15)$ và $2\vec{b} = (2 \cdot 2; 2 \cdot 2; 2 \cdot 1) = (4; 4; 2)$ . Do đó, $3\vec{a} + 2\vec{b} = (6 + 4; 3 + 4; 15 + 2) = (10; 7; 17)$ .

Ví dụ 2 (Trang 68): Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1; 2; 3), B(3; 2; 1)$ và $C(2; -1; 5)$ . Tìm toạ độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ và toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ .

Lời giải:

Vì $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nên toạ độ của điểm $M$ là $\left(\frac{1 + 3}{2}; \frac{2 + 2}{2}; \frac{3 + 1}{2}\right)$ , suy ra $M(2; 2; 2)$ .

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên toạ độ của điểm $G$ là $\left(\frac{1 + 3 + 2}{3}; \frac{2 + 2 + (-1)}{3}; \frac{3 + 1 + 5}{3}\right)$ , suy ra $G(2; 1; 3)$ .

Ví dụ 3 (Trang 69): Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\vec{a} = (1; 4; 2)$ và $\vec{b} = (-4; 1; 0)$ .

a) Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$ và cho biết hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có vuông góc với nhau hay không.

b) Tính độ dài của vectơ $\vec{a}$ .

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-4) + 4 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = -4 + 4 + 0 = 0$ . Do đó, hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau.

b) Độ dài của vectơ $\vec{a}$ là $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{21}$ .

Lưu ý khi thi#

Các dạng bài thường gặp:
- Thực hiện các phép toán vectơ khi biết toạ độ của các vectơ.
- Tính độ dài của vectơ, côsin của góc giữa hai vectơ.
- Chứng minh các tính chất hình học bằng phương pháp toạ độ.
Lỗi sai phổ biến:
- Sai sót trong quá trình tính toán toạ độ của các vectơ.
- Không nắm vững các công thức liên quan đến tích vô hướng, độ dài vectơ, côsin góc giữa hai vectơ.
- Áp dụng sai các công thức vào bài toán cụ thể.
Mẹo giải nhanh:
- Khi tính toán với toạ độ vectơ, nên viết rõ các công thức và thay số cẩn thận để tránh sai sót.
- Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra lại các kết quả tính toán.
- Nắm vững các tính chất hình học để giải quyết bài toán một cách nhanh chóng và hiệu quả.

Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!

Tuyệt vời! Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá Chương III: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Chương này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách các dữ liệu phân bố như thế nào, không chỉ tập trung vào giá trị trung bình nữa.

Câu hỏi thường gặp#

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ trong Toán Lớp 12 học những gì?#

Sau bài học này, các em sẽ: Nắm vững các công thức toạ độ của các phép toán vectơ trong không gian Oxyz. Tính toán thành thạo các phép toán vectơ khi biết toạ độ của các vectơ. Vận dụng các kiến thức về toạ độ vectơ để giải các bài toán liên quan đến hình học không gian.

Kiến thức trọng tâm của BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ là gì?#

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ vec{a} = x; y; z và vec{b} = x'; y'; z'. Khi đó: Tổng hai vectơ: vec{a} + vec{b} = x + x'; y + y'; z + z'. Hiệu hai vectơ: vec{a} - vec{b} = x - x'; y - y'; z - z'. Tích của một số với một vectơ: kvec{a} = kx; ky; kz, với k là một số thực. Tích vô hướng của hai v

Lưu ý khi thi bài BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ Toán Lớp 12?#

Các dạng bài thường gặp: Thực hiện các phép toán vectơ khi biết toạ độ của các vectơ. Tính độ dài của vectơ, côsin của góc giữa hai vectơ. Chứng minh các tính chất hình học bằng phương pháp toạ độ. Lỗi sai phổ biến: Sai sót trong quá trình tính toán toạ độ của các vectơ. Không nắm vững các công thức

Bài 8: BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ | Toán Lớp 12

CHƯƠNG II. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN#