Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn | Toán Lớp 12

Phương sai và độ lệch chuẩn là bài học trong chương trình Toán Lớp 12. Trong bài này, học sinh sẽ: sau bài học này, các em sẽ:; tính toán**: phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu ghép nhóm.; giải thích**: ý nghĩa và vai trò của phương sai, độ lệch chuẩn trong việc đo mức độ phân tán..

CHƯƠNG III. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM#

Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn#

Mục tiêu học tập#

Sau bài học này, các em sẽ:

• Tính toán: Phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu ghép nhóm.
• Giải thích: Ý nghĩa và vai trò của phương sai, độ lệch chuẩn trong việc đo mức độ phân tán.
• Vận dụng: Sử dụng phương sai và độ lệch chuẩn để so sánh độ rủi ro trong các bài toán thực tế.

Kiến thức trọng tâm#

1. Phương sai (Variance)

• Định nghĩa: Phương sai đo mức độ phân tán của dữ liệu xung quanh giá trị trung bình.
• Công thức (cho mẫu số liệu ghép nhóm): $s^2 = \frac{m_1(x_1 - \bar{x})^2 + ... + m_k(x_k - \bar{x})^2}{n}$ Trong đó:
  • $n = m_1 + ... + m_k$: Cỡ mẫu.
  • $x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}$: Giá trị đại diện của nhóm $[a_i; a_{i+1})$.
  • $\bar{x} = \frac{m_1x_1 + ... + m_kx_k}{n}$: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.
• Công thức tính nhanh: $s^2 = \frac{1}{n} (m_1x_1^2 + ... + m_kx_k^2) - (\bar{x})^2$

2. Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)

• Định nghĩa: Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai.
• Công thức: $s = \sqrt{s^2}$
• Ý nghĩa: Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với dữ liệu gốc, nên dễ diễn giải hơn so với phương sai. Độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu càng phân tán.

3. So sánh phương sai và độ lệch chuẩn

• Phương sai và độ lệch chuẩn đều đo mức độ phân tán của dữ liệu.
• Độ lệch chuẩn dễ diễn giải hơn vì có cùng đơn vị với dữ liệu gốc.

4. Ứng dụng trong tài chính: Đo độ rủi ro

Trong lĩnh vực tài chính, độ lệch chuẩn thường được sử dụng để đo độ rủi ro của một khoản đầu tư. Độ lệch chuẩn càng cao, khoản đầu tư càng rủi ro (vì lợi nhuận có thể biến động mạnh).

5. Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation - CV)

• Định nghĩa: $CV = \frac{s}{\bar{x}}$
• Ý nghĩa: Dùng để so sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu khi:
  • Đơn vị đo của hai mẫu số liệu khác nhau.
  • Giá trị trung bình của hai mẫu số liệu khác nhau nhiều.

Ví dụ minh họa#

Ví dụ 1 (trang 81): Người ta theo dõi sự thay đổi cân nặng, được tính bằng hiệu cân nặng trước và sau ba tháng áp dụng chế độ ăn kiêng của một số người cho kết quả như sau:

Tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn và nhận xét về sự thay đổi cân nặng của người nam, người nữ sau ba tháng áp dụng chế độ ăn kiêng.

Giải:

• Người nam:
  • Giá trị đại diện: -0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5
  • Số trung bình: $\bar{x}_1 = \frac{2(-0.5) + 3(0.5) + 5(1.5) + 3(2.5) + 2(3.5)}{15} = 1.5$
  • Phương sai: $s_1^2 = \frac{2(-0.5 - 1.5)^2 + 3(0.5 - 1.5)^2 + 5(1.5 - 1.5)^2 + 3(2.5 - 1.5)^2 + 2(3.5 - 1.5)^2}{15} \approx 1.21$
  • Độ lệch chuẩn: $s_1 = \sqrt{1.21} \approx 1.1$
• Người nữ:
  • Giá trị đại diện: -0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5
  • Số trung bình: $\bar{x}_2 = \frac{2(-0.5) + 7(0.5) + 12(1.5) + 7(2.5) + 2(3.5)}{30} = 1.5$
  • Phương sai: $s_2^2 = \frac{2(-0.5 - 1.5)^2 + 7(0.5 - 1.5)^2 + 12(1.5 - 1.5)^2 + 7(2.5 - 1.5)^2 + 2(3.5 - 1.5)^2}{30} \approx 2.06$
  • Độ lệch chuẩn: $s_2 = \sqrt{2.06} \approx 1.44$

Nhận xét: Về trung bình, sự thay đổi cân nặng của nam và nữ là như nhau. Tuy nhiên, sự biến động về thay đổi cân nặng của nữ nhiều hơn so với của nam.

Ví dụ 2 (trang 82): Anh An đầu tư số tiền bằng nhau vào hai lĩnh vực kinh doanh A, B. Anh An thống kê số tiền thu được mỗi tháng trong vòng 60 tháng theo mỗi lĩnh vực cho kết quả như sau:

So sánh giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số tiền thu được mỗi tháng khi đầu tư vào mỗi lĩnh vực A, B. Đầu tư vào lĩnh vực nào "rủi ro" hơn?

Giải:

• Lĩnh vực A:
  • Giá trị đại diện: 7.5, 12.5, 17.5, 22.5, 27.5
  • Số trung bình: $\bar{x}_A = \frac{5(7.5) + 10(12.5) + 30(17.5) + 10(22.5) + 5(27.5)}{60} = 17.5$
  • Độ lệch chuẩn: $s_A = \sqrt{\frac{5(7.5 - 17.5)^2 + 10(12.5 - 17.5)^2 + 30(17.5 - 17.5)^2 + 10(22.5 - 17.5)^2 + 5(27.5 - 17.5)^2}{60}} \approx 5$
• Lĩnh vực B:
  • Giá trị đại diện: 7.5, 12.5, 17.5, 22.5, 27.5
  • Số trung bình: $\bar{x}_B = \frac{20(7.5) + 5(12.5) + 10(17.5) + 5(22.5) + 20(27.5)}{60} = 17.5$
  • Độ lệch chuẩn: $s_B = \sqrt{\frac{20(7.5 - 17.5)^2 + 5(12.5 - 17.5)^2 + 10(17.5 - 17.5)^2 + 5(22.5 - 17.5)^2 + 20(27.5 - 17.5)^2}{60}} \approx 8.42$

Nhận xét: Về trung bình, đầu tư vào các lĩnh vực A, B số tiền thu được hàng tháng như nhau. Độ lệch chuẩn của số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào lĩnh vực B cao hơn khi đầu tư vào lĩnh vực A. Người ta nói rằng, đầu tư vào lĩnh vực B là "rủi ro" hơn.

Lưu ý khi thi#

• Dạng bài: Tính phương sai, độ lệch chuẩn từ bảng số liệu ghép nhóm. So sánh độ phân tán giữa các tập dữ liệu. Bài toán về độ rủi ro trong đầu tư.
• Lỗi sai: Nhầm lẫn giữa các công thức, sai sót khi tính toán.
• Mẹo giải nhanh:
  • Ghi nhớ công thức tính nhanh phương sai.
  • Sử dụng máy tính bỏ túi để tính toán nhanh và chính xác.
  • Khi so sánh độ rủi ro, cần xem xét cả giá trị trung bình và độ lệch chuẩn. Nếu giá trị trung bình khác nhau nhiều, nên dùng hệ số biến thiên (CV).

Hy vọng bài giảng này sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập về khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn! Chúc các em học tốt!

---

---

Câu hỏi thường gặp#

Phương sai và độ lệch chuẩn trong Toán Lớp 12 học những gì?#

Sau bài học này, các em sẽ: Tính toán: Phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu ghép nhóm. Giải thích: Ý nghĩa và vai trò của phương sai, độ lệch chuẩn trong việc đo mức độ phân tán. Vận dụng: Sử dụng phương sai và độ lệch chuẩn để so sánh độ rủi ro trong các bài toán thực tế.

Kiến thức trọng tâm của Phương sai và độ lệch chuẩn là gì?#

1. Phương sai Variance Định nghĩa: Phương sai đo mức độ phân tán của dữ liệu xung quanh giá trị trung bình. Công thức cho mẫu số liệu ghép nhóm: s^2 = frac{m1x1 - bar{x}^2 + ... + mkxk - bar{x}^2}{n} Trong đó: n = m1 + ... + mk: Cỡ mẫu. xi = frac{ai + a{i+1}}{2}: Giá trị đại diện của nhóm ai; a{i+1}

Lưu ý khi thi bài Phương sai và độ lệch chuẩn Toán Lớp 12?#

Dạng bài: Tính phương sai, độ lệch chuẩn từ bảng số liệu ghép nhóm. So sánh độ phân tán giữa các tập dữ liệu. Bài toán về độ rủi ro trong đầu tư. Lỗi sai: Nhầm lẫn giữa các công thức, sai sót khi tính toán. Mẹo giải nhanh: Ghi nhớ công thức tính nhanh phương sai. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính toán

---

Bài học liên quan#

• Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số | Toán Lớp 12
• Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số | Toán Lớp 12
• Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | Toán Lớp 12
• Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số | Toán Lớp 12
• Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn | Toán Lớp 12
• Bài 6: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12
• Bài 7: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12
• Bài 8: BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ | Toán Lớp 12
• Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị | Toán Lớp 12