Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị | Toán Lớp 12

Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị là bài học trong chương trình Toán Lớp 12. Trong bài này, học sinh sẽ: sau bài học này, các em sẽ:; hiểu**: ý nghĩa của việc đo mức độ phân tán của dữ liệu.; tính toán**: khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm..

CHƯƠNG III. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM#

Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị#

Mục tiêu học tập#

Sau bài học này, các em sẽ:

• Hiểu: Ý nghĩa của việc đo mức độ phân tán của dữ liệu.
• Tính toán: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm.
• Giải thích: Vai trò của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị trong việc đánh giá sự phân tán của dữ liệu.

Kiến thức trọng tâm#

1. Tại sao cần đo mức độ phân tán?

Các em đã quen với việc tính trung bình cộng, trung vị để biết giá trị "trung tâm" của một tập dữ liệu. Tuy nhiên, chỉ biết trung tâm thôi thì chưa đủ. Hãy tưởng tượng hai lớp có điểm trung bình môn Toán đều là 7.

• Lớp A: Điểm số trải đều từ 5 đến 9.
• Lớp B: Một nửa lớp được 9, nửa còn lại được 5.

Rõ ràng, dù điểm trung bình bằng nhau, nhưng cách phân bố điểm của hai lớp rất khác nhau. Lớp B có sự phân hóa rõ rệt hơn. Để mô tả sự khác biệt này, chúng ta cần các số đặc trưng đo mức độ phân tán.

2. Khoảng biến thiên (Range)

• Định nghĩa: Khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.
• Công thức (cho mẫu số liệu ghép nhóm): $R = a_{k+1} - a_1$, trong đó:
  • $[a_1; a_2)$, $[a_2; a_3)$, ..., $[a_k; a_{k+1})$ là các nhóm của mẫu số liệu.
  • $a_1$ là đầu mút trái của nhóm đầu tiên.
  • $a_{k+1}$ là đầu mút phải của nhóm cuối cùng.
• Ý nghĩa: Khoảng biến thiên cho biết độ "rộng" của dữ liệu. Khoảng biến thiên càng lớn, dữ liệu càng phân tán.
• Lưu ý: Khoảng biến thiên rất dễ tính, nhưng nó chỉ dựa vào hai giá trị cực trị, nên dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ (outliers).

3. Khoảng tứ phân vị (Interquartile Range - IQR)

• Tứ phân vị: Chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành 4 phần bằng nhau.
  • $Q_1$: Tứ phân vị thứ nhất (hay còn gọi là quartiles dưới), là giá trị mà 25% dữ liệu nhỏ hơn nó.
  • $Q_2$: Tứ phân vị thứ hai (trung vị), là giá trị mà 50% dữ liệu nhỏ hơn nó.
  • $Q_3$: Tứ phân vị thứ ba (quartiles trên), là giá trị mà 75% dữ liệu nhỏ hơn nó.
• Khoảng tứ phân vị: $Δ_Q = Q_3 - Q_1$
• Công thức tính tứ phân vị (cho mẫu số liệu ghép nhóm): $Q_r = a_p + \frac{\frac{rn}{4} - (m_1 + ... + m_{p-1})}{m_p} (a_{p+1} - a_p)$ Trong đó:
  • $r = 1, 2, 3$ (tứ phân vị thứ nhất, thứ hai, thứ ba)
  • $n$: Cỡ mẫu (tổng số lượng phần tử).
  • $[a_p; a_{p+1})$: Nhóm chứa tứ phân vị thứ $r$.
  • $a_p$: Đầu mút trái của nhóm chứa tứ phân vị thứ $r$.
  • $m_p$: Tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ $r$.
  • $m_1 + ... + m_{p-1}$: Tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa tứ phân vị thứ $r$.
• Ý nghĩa: Khoảng tứ phân vị cho biết độ "rộng" của phần giữa của dữ liệu (50% dữ liệu ở giữa). Nó ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ hơn so với khoảng biến thiên.

Ví dụ minh họa#

Ví dụ 1 (trang 76): Thống kê thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 12A, được kết quả như bảng sau:

Tìm khoảng biến thiên cho thời gian sử dụng mạng xã hội của học sinh mỗi tổ.

Giải:

• Tổ 1: $R_1 = 90 - 0 = 90$ (phút)
• Tổ 2: $R_2 = 60 - 0 = 60$ (phút)

Kết luận: Thời gian sử dụng mạng xã hội của các bạn Tổ 1 phân tán hơn so với Tổ 2.

Ví dụ 2 (trang 77): Thời gian chờ khám bệnh của các bệnh nhân tại phòng khám X được cho trong bảng sau:

Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Giải:

• Cỡ mẫu: $n = 3 + 12 + 15 + 8 = 38$
• Tứ phân vị thứ nhất: $Q_1$ là giá trị thứ $\frac{38}{4} = 9.5$. Nhóm chứa $Q_1$ là [5; 10) $Q_1 = 5 + \frac{9.5 - 3}{12} (10 - 5) = 5 + \frac{6.5}{12} \cdot 5 \approx 7.71$
• Tứ phân vị thứ ba: $Q_3$ là giá trị thứ $\frac{3 \cdot 38}{4} = 28.5$. Nhóm chứa $Q_3$ là [10; 15) $Q_3 = 10 + \frac{28.5 - (3+12)}{15} (15 - 10) = 10 + \frac{13.5}{15} \cdot 5 = 14.5$
• Khoảng tứ phân vị: $Δ_Q = Q_3 - Q_1 = 14.5 - 7.71 \approx 6.79$

Lưu ý khi thi#

• Dạng bài: Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị từ bảng số liệu ghép nhóm. So sánh độ phân tán giữa các tập dữ liệu.
• Lỗi sai: Nhầm lẫn giữa các công thức, đặc biệt là khi tính tứ phân vị.
• Mẹo giải nhanh:
  • Khoảng biến thiên: Nhớ công thức đơn giản: Lấy giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất.
  • Khoảng tứ phân vị: Xác định đúng nhóm chứa tứ phân vị, sau đó áp dụng công thức.

---

Câu hỏi thường gặp#

Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị trong Toán Lớp 12 học những gì?#

Sau bài học này, các em sẽ: Hiểu: Ý nghĩa của việc đo mức độ phân tán của dữ liệu. Tính toán: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm. Giải thích: Vai trò của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị trong việc đánh giá sự phân tán của dữ liệu.

Kiến thức trọng tâm của Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị là gì?#

1. Tại sao cần đo mức độ phân tán? Các em đã quen với việc tính trung bình cộng, trung vị để biết giá trị "trung tâm" của một tập dữ liệu. Tuy nhiên, chỉ biết trung tâm thôi thì chưa đủ. Hãy tưởng tượng hai lớp có điểm trung bình môn Toán đều là 7. Lớp A: Điểm số trải đều từ 5 đến 9. Lớp B: Một nửa

Lưu ý khi thi bài Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị Toán Lớp 12?#

Dạng bài: Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị từ bảng số liệu ghép nhóm. So sánh độ phân tán giữa các tập dữ liệu. Lỗi sai: Nhầm lẫn giữa các công thức, đặc biệt là khi tính tứ phân vị. Mẹo giải nhanh: Khoảng biến thiên: Nhớ công thức đơn giản: Lấy giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất. Khoảng

---

Bài học liên quan#

• Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số | Toán Lớp 12
• Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số | Toán Lớp 12
• Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | Toán Lớp 12
• Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số | Toán Lớp 12
• Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn | Toán Lớp 12
• Bài 6: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12
• Bài 7: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12
• Bài 8: BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ | Toán Lớp 12
• Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn | Toán Lớp 12