Bài 7: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12

HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN là bài học trong chương trình Toán Lớp 12. Trong bài này, học sinh sẽ: sau bài học này, các em sẽ:; nhận biết được khái niệm hệ trục toạ độ trong không gian oxyz.; xác định được toạ độ của một điểm, một vectơ trong không gian oxyz..

CHƯƠNG II. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN#

Bài 7: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN#

Mục tiêu học tập#

Sau bài học này, các em sẽ:

• Nhận biết được khái niệm hệ trục toạ độ trong không gian Oxyz.
• Xác định được toạ độ của một điểm, một vectơ trong không gian Oxyz.
• Biết cách tìm toạ độ của hình chiếu vuông góc của một điểm trên các trục và mặt phẳng toạ độ.

Kiến thức trọng tâm#

1. Hệ trục toạ độ trong không gian

• Định nghĩa: Trong không gian, ba trục $Ox, Oy, Oz$ đôi một vuông góc với nhau tại gốc $O$ của mỗi trục tạo thành một hệ trục toạ độ Descartes vuông góc $Oxyz$, hay còn gọi là hệ toạ độ $Oxyz$.
  • Điểm $O$ được gọi là gốc toạ độ.
  • Các mặt phẳng $(Oxy), (Oyz), (Ozx)$ đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ.
  • Các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ có độ dài bằng 1, lần lượt nằm trên các trục $Ox, Oy, Oz$ và cùng hướng với chiều dương của các trục này được gọi là các vectơ đơn vị.
• Toạ độ của một điểm: Với mỗi điểm $M$ trong không gian, tồn tại duy nhất bộ ba số $(x; y; z)$ sao cho $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$. Bộ ba số $(x; y; z)$ được gọi là toạ độ của điểm $M$ đối với hệ toạ độ $Oxyz$, kí hiệu $M(x; y; z)$.
  • $x$ được gọi là hoành độ của $M$.
  • $y$ được gọi là tung độ của $M$.
  • $z$ được gọi là cao độ của $M$.

2. Toạ độ của vectơ

• Định nghĩa: Với mỗi vectơ $\vec{a}$ trong không gian, tồn tại duy nhất bộ ba số $(x; y; z)$ sao cho $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$. Bộ ba số $(x; y; z)$ được gọi là toạ độ của vectơ $\vec{a}$ đối với hệ toạ độ $Oxyz$, kí hiệu $\vec{a} = (x; y; z)$.
• Liên hệ giữa toạ độ của điểm và vectơ: Toạ độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ cũng là toạ độ của điểm $M$.
• Toạ độ của vectơ khi biết toạ độ hai điểm: Cho hai điểm $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$. Khi đó, $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.

Ví dụ minh họa#

Ví dụ 1 (Trang 61): Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Có thể lập một hệ toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với đỉnh $B'$ và các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt là các vectơ $\overrightarrow{B'A'}, \overrightarrow{B'C'}, \overrightarrow{B'B}$ không? Giải thích vì sao.

Lời giải:

Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có các cạnh $B'A', B'C'$ và $B'B$ đôi một vuông góc với nhau. Vì hình lập phương có độ dài mỗi cạnh bằng 1 nên các vectơ $\overrightarrow{B'A'}, \overrightarrow{B'C'}, \overrightarrow{B'B}$ cùng có điểm đầu là $B'$ và đều có độ dài bằng 1.

Từ các điều trên, suy ra có thể lập một hệ toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với đỉnh $B'$ và các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt là các vectơ $\overrightarrow{B'A'}, \overrightarrow{B'C'}, \overrightarrow{B'B}$.

Ví dụ 2 (Trang 62): Hình 2.38 minh hoạ một hệ toạ độ $Oxyz$ trong không gian cùng với các hình vuông có cạnh bằng 1 đơn vị. Tìm toạ độ của điểm $M$.

Lời giải:

Trong Hình 2.38, $ABCM.FODE$ là hình hộp chữ nhật. Áp dụng quy tắc hình hộp suy ra $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OF} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OB} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + 3\vec{k}$. Vì vậy, toạ độ của điểm $M$ là $(3; 4; 3)$.

Ví dụ 3 (Trang 63): Trong không gian $Oxyz$, cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $A(1; 0; 2), B(3; 2; 5), C(7; -3; 9)$ và $A'(5; 0; 1)$. Tìm toạ độ của $\overrightarrow{AA'}$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AA'} = (x_{A'} - x_A; y_{A'} - y_A; z_{A'} - z_A) = (5 - 1; 0 - 0; 1 - 2) = (4; 0; -1)$.

Lưu ý khi thi#

• Các dạng bài thường gặp:
  • Xác định toạ độ của một điểm, một vectơ trong không gian Oxyz.
  • Tìm toạ độ của hình chiếu vuông góc của một điểm trên các trục và mặt phẳng toạ độ.
  • Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy.
• Lỗi sai phổ biến:
  • Nhầm lẫn giữa toạ độ của điểm và toạ độ của vectơ.
  • Sai dấu khi tính toạ độ của vectơ khi biết toạ độ hai điểm.
  • Không nắm vững các công thức liên quan đến toạ độ.
• Mẹo giải nhanh:
  • Khi xác định toạ độ của một điểm, nên phân tích vectơ $\overrightarrow{OM}$ thành tổng của các vectơ thành phần trên các trục toạ độ.
  • Sử dụng các công thức một cách chính xác và linh hoạt để giải quyết bài toán.

---

Câu hỏi thường gặp#

HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN trong Toán Lớp 12 học những gì?#

Sau bài học này, các em sẽ: Nhận biết được khái niệm hệ trục toạ độ trong không gian Oxyz. Xác định được toạ độ của một điểm, một vectơ trong không gian Oxyz. Biết cách tìm toạ độ của hình chiếu vuông góc của một điểm trên các trục và mặt phẳng toạ độ.

Kiến thức trọng tâm của HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN là gì?#

1. Hệ trục toạ độ trong không gian Định nghĩa: Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục tạo thành một hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz, hay còn gọi là hệ toạ độ Oxyz. Điểm O được gọi là gốc toạ độ. Các mặt phẳng Oxy, Oyz, Ozx đôi một vuông góc với

Lưu ý khi thi bài HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Toán Lớp 12?#

Các dạng bài thường gặp: Xác định toạ độ của một điểm, một vectơ trong không gian Oxyz. Tìm toạ độ của hình chiếu vuông góc của một điểm trên các trục và mặt phẳng toạ độ. Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy. Lỗi sai phổ biến: Nhầm lẫn giữa toạ độ của điểm và toạ độ của vectơ. S

---

Bài học liên quan#

• Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số | Toán Lớp 12
• Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số | Toán Lớp 12
• Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | Toán Lớp 12
• Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số | Toán Lớp 12
• Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn | Toán Lớp 12
• Bài 6: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN | Toán Lớp 12
• Bài 8: BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ | Toán Lớp 12
• Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị | Toán Lớp 12
• Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn | Toán Lớp 12