Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số | Toán Lớp 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số là bài học trong chương trình Toán Lớp 12. Trong bài này, học sinh sẽ: sau khi học xong bài này, các em sẽ:; hiểu**:; sơ đồ tổng quát để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số..

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ#

Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số#

Mục tiêu học tập#

Sau khi học xong bài này, các em sẽ:

• Hiểu:
  • Sơ đồ tổng quát để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
• Biết:
  • Cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba, hàm phân thức hữu tỉ đơn giản.
• Làm được:
  • Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba, hàm phân thức hữu tỉ đơn giản.
  • Nhận biết tính đối xứng (trục đối xứng, tâm đối xứng) của đồ thị các hàm số trên.

Kiến thức trọng tâm#

• Sơ đồ khảo sát hàm số $y = f(x)$:

  1. Tìm tập xác định của hàm số.
  2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
     • Tính đạo hàm $f'(x)$. Tìm các điểm $x_i$ mà tại đó $f'(x_i) = 0$ hoặc $f'(x_i)$ không xác định.
     • Xét dấu $f'(x)$ và chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
     • Tìm cực trị của hàm số.
     • Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
     • Lập bảng biến thiên.
  3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

• Khảo sát hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$):

  • Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
  • Đạo hàm: $y' = 3ax^2 + 2bx + c$.
  • Hàm số có thể có hoặc không có cực trị.
  • Không có tiệm cận.
  • Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn.

• Khảo sát hàm số phân thức hữu tỉ $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ ($c \ne 0$, $ad - bc \ne 0$):

  • Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-\frac{d}{c}\}$.
  • Đạo hàm: $y' = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}$.
  • Hàm số không có cực trị.
  • Có tiệm cận đứng $x = -\frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$.
  • Đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận.

Ví dụ minh họa#

Ví dụ 1 (Sách giáo khoa Toán 12, trang 26): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = -x^3 + 3x^2 - 4$.

Giải:

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

2. Sự biến thiên:

   • Đạo hàm: $y' = -3x^2 + 6x$.

   • $y' = 0 \Leftrightarrow -3x^2 + 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

   • Trên khoảng $(0; 2)$, $y' > 0$ nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$, $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến.

   • Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$, giá trị cực tiểu $y_{CT} = -4$. Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$, giá trị cực đại $y_{CD} = 0$.

   • $\lim_{x \to -\infty} y = +\infty$; $\lim_{x \to +\infty} y = -\infty$.

   • Bảng biến thiên:

     $x$	$-\infty$	0	2	$+\infty$
     $y'$	$-$	0	$+$	0
     $y$
     	$-\infty$	$\nearrow$	$-4$	$\searrow$

3. Đồ thị:

   • Giao điểm với trục tung: $(0; -4)$.
   • Giao điểm với trục hoành: $(-1; 0)$ và $(2; 0)$.
   • Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $(1; -2)$.

Ví dụ 3 (Sách giáo khoa Toán 12, trang 28): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 2}$.

Giải:

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

2. Sự biến thiên:

   • Đạo hàm: $y' = \frac{-3}{(x - 2)^2}$.

   • $y' < 0$ với mọi $x \ne 2$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$.

   • Hàm số không có cực trị.

   • $\lim_{x \to 2^+} y = +\infty$; $\lim_{x \to 2^-} y = -\infty$; $\lim_{x \to \pm \infty} y = 1$.

   • Bảng biến thiên:

     $x$	$-\infty$	2	$+\infty$
     $y'$	$-$		$-$
     $y$
     	$1$	$\searrow$	$+\infty$
     		$-\infty$	$\searrow$

3. Đồ thị:

   • Giao điểm với trục tung: $(0; -\frac{1}{2})$.
   • Giao điểm với trục hoành: $(-1; 0)$.
   • Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 2$ và tiệm cận ngang $y = 1$.

Lưu ý khi thi#

• Dạng bài thường gặp:
  • Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.
  • Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ.
  • Nhận dạng đồ thị hàm số.
• Lỗi sai phổ biến:
  • Không tìm tập xác định của hàm số.
  • Tính sai đạo hàm.
  • Không xét dấu đạo hàm hoặc xét dấu sai.
  • Không tìm tiệm cận hoặc tìm sai.
  • Vẽ đồ thị không chính xác.
• Mẹo giải nhanh:
  • Sử dụng máy tính cầm tay để tính đạo hàm, giải phương trình đạo hàm bằng 0 và vẽ đồ thị.
  • Nhớ các dạng đồ thị cơ bản của hàm số bậc ba và hàm phân thức hữu tỉ.

---

Câu hỏi thường gặp#

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trong Toán Lớp 12 học những gì?#

Sau khi học xong bài này, các em sẽ: Hiểu: Sơ đồ tổng quát để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Biết: Cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba, hàm phân thức hữu tỉ đơn giản. Làm được: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba, hàm phân thức hữu tỉ đơn giản. Nhận biết tính

Kiến thức trọng tâm của Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số là gì?#

Sơ đồ khảo sát hàm số y = fx: 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số: Tính đạo hàm f'x. Tìm các điểm xi mà tại đó f'xi = 0 hoặc f'xi không xác định. Xét dấu f'x và chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Tìm cực trị của hàm số. Tìm các giới hạn tại vô cực,

Lưu ý khi thi bài Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Toán Lớp 12?#

Dạng bài thường gặp: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ. Nhận dạng đồ thị hàm số. Lỗi sai phổ biến: Không tìm tập xác định của hàm số. Tính sai đạo hàm. Không xét dấu đạo hàm hoặc xét dấu sai. Không tìm tiệm cận hoặc tìm sai. Vẽ đồ thị không chính xác.

---

Bài học liên quan#

• Tính đơn điệu và cực trị của hàm số | Toán Lớp 12
• Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số | Toán Lớp 12
• Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | Toán Lớp 12